220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

15. Darstellung und Differentiation der Logarithmusfunktion 97
Man erkennt, daß jedes Glied der geometrischen Reihe größer
ist als das entsprechende (darüber stehende) Glied des zu untersuchenden
Ausdruckes. Wenn nun die unendliche geometrische
Reihe einen endlichen Wert besitzt, und der ist ja bekanntlich
gleich 1 nach der in der Elementarmathematik bewiesenen Formel
so muß die obere Reihe, bei der jedes einzelne Glied
(vom dritten ab gerechnet) kleiner ist, erst recht einen endlichen
Summenwert besitzen, der kleiner als 3 sein muß.
Diesen Wert, der in der höheren Mathematik eine besonders
wichtige Rolle spielt, bezeichnet man mit dem Buchstaben e.
Es ist eine irrationale Zahl (deren Berechnung wir noch auf
S. 185 kennenlernen werden) und besitzt auf 15 Dezimalen ausgerechnet
den Wert
Somit erhalten wir also für unseren gesuchten Differentialquotienten
(21)
(22)
Man erkennt sofort, daß die erste Ableitung des Logarithmus nie
den Wert Null haben kann; aber auch die zweite Ableitung
verschwindet für keinen endlichen Wert von x.
Also besitzt die Kurve y = lg x weder Extremwerte noch Wendepunkte.
Der natürliche Logarithmus
Aus Gl. (22) ersieht man, daß die Differentiation des Logarithmus
ein besonders einfaches Resultat ergeben würde, wenn als
Basis des Logarithmensystems die Zahl e genommen werden würde.
Asmus, Einführung in die höhere Mathematik 7