220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

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176 I. Teil. Funktionen einer Veränderlichen Wir nehmen dieselbe Gleichung, die wir beim Newtonschen Näherungsverfahren untersucht haben. (36) Beim Iterationsverfahren kommt es darauf an, die unbekannte gesuchte Größe durch sich selbst auszudrücken, also die Gleichung auf die Form zu bringen. Dies läßt sich auf zwei Arten erreichen. Entweder wir stellen Gl. (36) dar als (37) oder wir logarithmieren Gl. (36) und lösen dann nach r auf: (38) Wir wollen nun zunächst Gl. (38) weiter untersuchen. Es wird ein Näherungswert für den man etwa durch Zeichnung ermittelt hat, in die rechte Seite der Gleichung eingesetzt und damit ein neuer Wert von ausgerechnet. Dieses Verfahren wird dann mehrmals wiederholt. Man legt sich zweckmäßigerweise eine kleine Tabelle nach folgendem Muster an (Tabelle 12). Aus dem Näherungswert erhält man so den ersten verbesserten Wert Setzt man diesen in die rechte Seite der Gl. (38) ein, so erhält man den zweiten verbesserten Wert So findet man eine Folge von Zahlenwerten, die einem bestimmten Werte zustrebt.. Die Differenzen der aufeinanderfolgenden Werte werden immer kleiner, die beiden letzten Tabellenwerte unterscheiden sich bis in die vierte Dezimale nicht mehr voneinander. Der Wert 7,4662 ist mit dem nach dem Newton - sehen Verfahren berechneten identisch.
27. Das Iterationsverfahren 177 Tabelle 12 7,00 7,21 7,33 7,40 7,44 0,84510 0,85794 0,86510 0,86923 0,87157 3,38040 3,43176 3,46040 3,47692 3,48628 3,13052 3,18188 3,21052 3,22704 3,23640 7,21 7,33 7,40 7,44 7,45 Rechen- Schieber 7,45 7,4577 7,4617 7,4640 7,4650 7,4655 7,4660 7,4662 7,4662 0,87216 0,87260 0,87284 0,87297 0,87303 0,87306 0,87309 0,87310 3,48864 3,49040 3,49136 3,49188 3,49212 3,49224 3,49236 3,40 240 3,23876 3,24052 3,24148 3,24200 3,24224 3,24236 3,24248 3,24 252 7,4577 7,4617 7,4640 7,4650 7,4655 7,4660 7,4662 7,4662 Fünfstellige Logarithmentafel Fig. 105. Schematische Darstellung der Annäherung an die gesuchte Gleichungswurzel beim Iterationsverfahren Die Ausführung der Division in der letzten Kolonne der Tabelle kann zunächst mit dem Rechenschieber durchgeführt werden, erst zum Schluß benutzen wir eine fünfstellige Logarithmentafel. A a m u s, Einführung in die höhere Mathematik 12
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Einführung in die höhere Mathemat
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GELEITWORT DES HERAUSGEBERS Für di
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Geleitwort des Herausgebers IX Das
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Vorwort des Verfassers XI werter al
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INHALT I.Teil. Funktionen einer Ver
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Inhalt 3. Kapitel. Graphische, nume
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4 I. Teil. Funktionen einer Veränd
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6 1. Teil. Funktionen einer Veränd
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8 I. Teil. Funktionen einer Veränd
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2. Darstellung von Funktionen 11 tr
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2. Darstellung von Funktionen 13 Un
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2. Darstellung von Funktionen 15 te
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2. Darstellung von F u n k t i o n
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2. Darstellung von Funktionen 19 De
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2. KAPITEL Die wichtigsten Funktion
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3. Die Konstante 23 Temperatur. Inf
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3. Die Konstante 25 lauft die Gerad
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4. Die Proportionalität 27 die Me
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6. Die lineare Funktion 29 Eine bes
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im b red , t-System darzustellen. W
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6. Die Parabeln y = x n 33 6. Die P
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7. Der Begriff des Differentialquot
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tion. 7. Der Begriff des Differerit
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8. Einige Differentiationsregeln 43
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8. Einige Differentiationsregeln 45
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Im angenommenen Beispiel ist 9. Das
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9. Das Differential 4y Es ist aber
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10. Umkehrfunktionen und Umkehrrege
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10. Umkehrfunktionen und Umkehrrege
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11. Die Funktionen vom Typus 55 II.
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11. Die Funktionen vom Typus 57 Wie
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11. Die Funktionen vom Typus 59 son
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11. Die Funktionen vom Typus 61 lum
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11. Die Funktionen vom Typus 63 bin
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12. Die Kettenregel 65 tiationsrege
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12. Die Kettenregel G7 Kurve III) d
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12. Die Kettenregel 69 Damit wird D
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13. Extremwert- und Wendepunktsbest
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13 Extremwert- und Wendepunktsbesti
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Die Funktion 13. Extremwert- und We
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13, Extremwert- und Wendepunktsbest
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und daher ist 13. Extremwert- und W
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Ist diese festgelegt, dann ist auch
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15. Darstellung und Differentiation
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.15. Darstellung und Differentiatio
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16. Logarithmische Papiere 99 logar
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16. Logarithmische Papiere 101 Auch
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16. Logarithmische Papiere 103 nate
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16. Logarithmische Papiere 105 Man
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16. Logarithmische Papiere 107 Beso
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17. Der logarithmische Rechenschieb
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X 0.00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,0
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19. Produkt- und Quotientenregel 12
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Seite 183 und 184: Näherungsverfahren zw Auflösung v
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38. Bestimmtes Integral und sein Zu
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also mathematisch ausgedrückt, ist
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4L Partielle Integration 257 Das zw
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41. Partielle Integration 259 Die B
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41. Partielle Integration 261 Die L
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42. Integration durch Partialbruchz
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43. Näherungsweise Auswertung von
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3. KAPITEL Graphische, numerische u
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44. Mechanische Methoden zur Auswer
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44. Mechanische Methoden zur Auswer
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45. Numerische Näherungsmethoden z
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46. Ermittelung der Stammfunktion u
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46. Ermittelung der Stammfunktion u
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47. Ermittelung der Stammfunktion d
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47. Ermittelung der Stammfunktion d
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1. KAPITEL Darstellung von Funktion
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48. Analytische und tabellarische D
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49. Geometrische Darstellung usw. 3
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50. Darstellung durch eine Netztafe
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51. Darstellung durch eine Fluchtli
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2. KAPITEL Differentiation 62. Part
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52. Partielle Differentiation und d
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52. Partielle Differentiation and d
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53. Höhere partielle Differentialq
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63. Höhere partielle Differentialq
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55. Ausgleichsrechnung nach der Met
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3. KAPITEL Integration 56. Das voll
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56. Das vollständige und das unvol
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56. Das vollständige und das unvol
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58. Integration eines unvollständi
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Anhang 381 Ermittle den Wert des be
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