220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

4L Partielle Integration 257
Das zweite Beispiel
erscheint etwas schwieriger wegen des Auftretens zweier Funktionen
vor dem Differential dx. Aus naheliegenden Gründen fassen
wir aber e x und dx gemeinsam als Differential einer Funktion v auf,
denn es ist ja
Hiermit wird
Natürlich sind wir beim Integral dx nicht von vornherein
gezwungen so vorzugehen, wie wir es getan haben; wir können
auch mit u bezeichnen und x dx mit dv, denn x dx ist dasselbe
wie Wir könnten die Lösung des Integrals also auch nach
folgendem Schema versuchen,
und nun erkennt man sofort, daß wir jetzt durch die partielle
Integration das Problem nicht vereinfacht, sondern noch schwieriger
gemacht haben. Das neue Integral enthält x bereits in der
zweiten Potenz, während das Ausgangsintegral es nur in der ersten
enthielt. Es gibt keine Regel, nach der man bei der partiellen
Integration die zweckmäßigste Aufteilung des Integranden finden
könnte. Das ist Übungssache und kann nur durch praktisches
Rechnen erlernt werden.
Anwendungsbcispiele
Die mittlere Geschwindigkeit von Oasmolekeln. Zunächst ein Beispiel
aus der kinetischen Gastheorie. Auf S. 152 hatten wir bereits
gesehen, daß nach dieser Theorie die Molekeln eines Gases sich in
einer dauernden ungeordneten Bewegung befinden. Sämtliche Ge-
Asmus, Einführung in die höhere Mathematik 17