220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

136 I. Teil. Funktionen einer Veränderlichen
Eine weitere Eigenschaft der Exponentialfunktion wird durch
folgende Fragestellung erläutert.
Nach welcher Zeit ist die Hälfte des Esters hydrolysiert ?
Diese Zeit, die man die Halbwertszeit oder die Halb Wertsdauer
der Reaktion nennt, wollen wir berechnen.
Es ist diejenige Zeit, nach der
geworden ist. Die Bestimmungsgleichung
für T lautet also
Fig. 84. Unabhängigkeit der Halbwertsdauer
einer Reaktion erster Ordnung von der Anfangskonzentration
Die Halbwertszeit hängt also
mit der Konstanten h zusammen,
aber nicht, und das
ist das Bemerkenswerte, mit
der Anfangskonzentration c 0 .
Das bedeutet, daß Exponentialfunktionen
vom Typus
mit gleichem
k, aber verschiedenem c 0 , nach der gleichen Zeit r ein c besitzen,
welches gleich der Hälfte des Anfangs-Ordinatenwertes ist (Fig. 84).
Dasselbe gilt natürlich in entsprechender Weise für das Absinken
auf jeden beliebigen Bruchteil der Anfangskonzentration.
Auch an dieser Eigenschaft der' Exponentialfunktion erkennt
man eine Reaktion erster Ordnung. In unserem Beispiel der Esterhydrolyse
verringert sich die Ordinate auf den 1,07. Teil in jeweils
20 Minuten. Natürlich ist diese Eigenschaft nichts weiter als die
zuerst erwähnte, nur in anderer Ausdrucksweise.
Drei weitere Beispiele für das Auftreten der negativen
Exponentialfunktion
Die negative Exponentialfunktion tritt in der Chemie nicht nur
bei Reaktionen erster Ordnung auf, wozu auch der radioaktive