220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

120 I. Teil. Funktionen einer Veränderlichen
oder unter Verwendung der Umkehrregel
und da
ist, ist damit
womit gezeigt ist, daß das Ableiten der Exponentialfunktion
wiederum die Funktion selbst ergibt. Man kann demnach die
Funktion y = e x beliebig oft differenzieren, und immer wieder
erhält man die ursprüngliche Funktion.
Nachdem wir das wissen, ist auch das Differenzieren von y = a x
nicht schwierig, denn es ist
(27)
was man sofort als richtig erkennt, wenn man auf beiden Seiten
der Gleichung den natürlichen Logarithmus bildet. Es ist dann
nämlich
Unter Anwendung der Kettenregel erhält man aus Gl. (27)
Es ist also auch die allgemeine Exponentialfunktion beliebig oft
differenzierbar, nur ist hier die Steigung nicht gleich dem Ordinatenwert,
sondern ihm proportional. Der Proportionalitätsfaktor
ist der natürliche Logarithmus der Grundzahl.
Die Exponentialfunktion ist neben der geraden Linie die wichtigste
Funktion für die Naturwissenschaften, und daher wollen
wir sie und einige ihrer Abkömmlinge eingehender betrachten.