220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

184 I. Teil. Funktionen einer Veränderlichen
lassen sich die Koeffizienten nach bestimmten rechnerischen Verfahren,
die noch später besprochen werden (Ausgleichsrechnung
nach der Methode der kleinsten Quadrate. S. 349), aus den vorliegenden
Funktionswerten ausrechnen und dadurch die unbekannte
Funktion innerhalb eines bestimmten Intervalles durch eine Gleichung
obiger Art darstellen. Die nicht gemessenen Zwischenwerte
der Funktion lassen sich dann aus der Gleichung berechnen.
Es kann aber auch der Fall vorliegen, daß eine Funktion, von
der man nur die allgemeinen Eigenschaften kennt, etwa
durch eine Reihe dargestellt werden soll. In diesem Falle genügt
die Kenntnis der Ordinate und der Ableitungen dieser Funktion
an einer bestimmten Stelle, um die Koeffizienten
usw.
zu berechnen. Das wollen wir jetzt zeigen.
29. Die MacLaurin- Reihe
Es sei die Funktion y = f(x) darstellbar durch eine Potenzreihe
dann sind die Ableitungen der Funktion ebenfalls darstellbar durch
Potenzreihen, welche wie folgt lauten:
Für den speziellen Abszissenwert x = 0 nimmt die Funktion
und ihre Ableitungen folgende Werte an.
und ganz allgemein ist die n-te Ableitung an der Stelle x = 0