220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

36. Etwas über Differentialgleichungen 213
höchsten vorkommenden Differentialquotienten und der höchsten
Potenz der unabhängigen Variablen oder ihrer Ableitungen. So
ist z.B. Gl. (44) eine Differentialgleichung erster Ordnung und
ersten Grades, GL (45) dagegen ist auch vom ersten Grade, aber
von zweiter Ordnung.
Der Weg, der zur Aufstellung einer Differentialgleichung führt,
kann auch ein ganz anderer sein als der eben beschriebene. Wir
wollen diesen zweiten Weg ebenfalls
an einem praktischen Beispiel
erläutern. Nach Faraday
ist die bei einer Elektrolyse durch
die Stromstärke während der
Zeit abgeschiedene Substanzmenge
(wir schreiben weil
es sich um eine Zunahme der Elektrodenmasse
handelt) gegeben als
(46)
wenn Ä das elektrochemische
Äquivalent bedeutet. Diese Gleichung
ist jedoch nur so lange richtig, als es sich um eine konstante,
zeitlich gleichbleibende Stromstärke handelt.
Wie lautet das Gesetz nun, wenn die Stromstärke sich irgendwie
ändert, etwa so, wie es Fig. 111 zeigt ? Wie groß ist für die
Zeit
Die Stromstärke i ist jetzt eine Funktion von t
und kann nach Gl. (46) nicht berechnet werden,
weil die Stromstärke sich während der ganzen Zeit ändert.
Es wäre falsch, bei der Berechnung von etwa die Stromstärke
oder in die Formel (46) einzusetzen, wir würden im
ersten Falle ein zu hohes, im zweiten ein zu kleines Ergebnis erhalten;
nur ein passend gewählter Mittelwert könnte uns das
richtige Resultat geben.
Die Auffindung eines solchen Mittelwertes wird wesentlich
leichter, wenn die Zeitspanne kleiner wird, dann unterscheiden
sich Anfangs- und Endströme nicht mehr so stark wie im ersten
Falle. Wir begehen auch schon nicht mehr einen so großen Fehler,
wenn wir bei der Auswertung der Formel eine der beiden Grenzstromstärken
verwenden. Grundsätzlich können wir keine noch so