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1. Der Begriff des Differentialquotienten 39
und kleiner, so daß die Werte tg
sich immer mehr und
mehr dem Werte 2 x nähern. Für alle Werte von tg ß stellt nun
tg α einen sogenannten Grenzwert dar, eine Größe, der sich die
Zahlen der Zahlenfolge tg ß beliebig nähern können, ohne sie zu
erreichen. Man deutet diese Zusammenhänge mathematisch durch
die Gleichung
an. Das Symbol lim (limes = Grenze; lies: limes für
nach
Null) deutet an, daß die Zahlenfolge tg ß sich dem Werte tg α
nähert, wenn dem Werte Null zustrebt.
Dieser Grenzwert ist aber 2 x. Die Neigung der Tangente an
die Parabel in einem Punkt mit der Abszisse x ist gleich der doppelten
Abszisse.
Für die Neigung der Tangente tg α verwendet man auch noch
einige andere Symbole. Um anzudeuten, daß die Steigung eine
Funktion der Abszisse ist, schreibt man für tg α auch y' (y Strich)
oder und nennt diese Funktion die Ableitung von y. Um
anzudeuten, daß tg α durch einen Grenzübergangsprozeß aus dem
Differenzenquotienten
die symbolische Bezeichnung
entstanden ist, verwendet man dafür auch
(gelesen: de y nach de x) und
spricht dann vom Differentialquotienten. Es ist also
Wir haben festgestellt, daß die Neigungen der Parabeltangenten
so groß sind wie die jeweiligen doppelten Abszissen. Diesen Sachverhalt
können wir auch durch eine Kurve darstellen, indem wir
die Parabel y = x 2
und ihre abgeleitete Funktion
zeichnen. Fig. 30 zeigt die beiden Kurven.
An der Kurve II lesen wir ab, daß für x = 0 ebenfalls 0 ist,
d. h. also, daß die Parabel an der Stelle x = 0 eine Tangente ohne
Neigung, also waagerecht liegend, besitzt. Im ersten Quadranten