220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

186 I. Teil. Funktionen einer Veränderlichen
Nimmt man das nächste Glied
hinzu, so ergibt sich
2,71668. Das nächste Glied ergibt
und nimmt man schließlich noch
hinzu, so folgt
So kann man e 1 oder jeden anderen Wert mit beliebiger Genauigkeit
ausrechnen.
Dabei muß etwas besonders hervorgehoben werden: die in einer
Tabelle zusammengestellten Werte sind selbstverständlich nicht
die genauen Funktionswerte, sondern nur mehr oder minder gute
Näherungswerte, denn sie sind stets mit einer Reihenentwicklung
berechnet, die nach einer Anzahl von Gliedern abgebrochen wurde.
Der in der Tabelle enthaltene Funktionswert kommt also streng
genommen nicht sondern einer Schmiegungsparabel zu. Praktisch
sind aber beide Werte so wenig verschieden, daß sie als gleich
betrachtet werden können.
Wenn man jedoch bei Rechnungen mit Reihen, wie wir sie noch
durchführen werden, in Gedanken stets alle unendlich vielen
Glieder als zur Reihe gehörend auffaßt, so stellt die Reihe nicht
bloß eine Näherung der Funktion dar, sondern sie ist die Funktion
selbst in der Schreibweise einer Reihe.
30. Die Taylor-Reihe
Nicht jede Funktion läßt sich in eine Mac Laurin-Reihe entwickeln,
denn dazu bedarf es der Kenntnis von Wollten wir
z. B. an der Stelle entwickeln, so ginge das nicht,
denn für ist In x gar nicht definiert. Bei Annäherung an
diese Stelle wächst ja der Funktionswert über jeden angebbaren
Betrag. In einem solchen Falle genügt es, wenn man für irgendeinen
Wert den Funktionswert kennt und an dieser Stelle
die Funktion ableiten kann, dann läßt sich die Funktion in eine