220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

188 I. Teil. Funktionen einer Veränderlichen
Dies ist eine Reihenentwicklung für die Funktion und
damit natürlich auch für da beide sich nur durch den
Faktor 2,30 unterscheiden.
Für die Berechnung einer Logarithmentafel verwendet man diese
Reihe allerdings nicht, sondern eine andere, die durch eine kleine
Umformung aus der obigen entsteht, und das aus einem Grunde,
den wir bisher noch nicht erwähnt haben.
31. Konvergenz und Divergenz von Reihen
Setzen wir in der für den Logarithmus abgeleiteten Reihenentwicklung
x-Werte ein, die kleiner als 2 sind, so läßt sich In x
berechnen, und zwar um so genauer, je mehr Glieder der Reihe
wir berücksichtigen. Die Reihe hat trotz ihrer unendlich vielen
Glieder einen bestimmten endlichen Wert, ähnlich wie es bei der
erwähnten unendlichen geometrischen Reihe der Fall war. Man
sagt, daß die Reihe konvergiert.
Wenn wir aber in der Reihe für den Logarithmus
einsetzen, so erhalten wir
Würde man jetzt versuchen, durch Hinzunehmen immer weiterer
Glieder In 3 auszurechnen, so würde man feststellen, daß das
Ergebnis sich nicht immer besser einem bestimmten Wert nähert,
sondern über jeden angebbaren Betrag hinaus wächst. Man sagt,
die Reihe divergiert.
Eine divergente Reihe ist natürlich für die Berechnung von
Funktionswerten wertlos, nur eine konvergente kann hierzu verwendet
werden.
Es gibt Reihen, die für alle konvergieren, z. B. die
Ma c L a u r i n -Reihen für sin x, cos x; es gibt aber auch Reihen,
die für gewisse Werte konvergieren, für andere hingegen divergieren,
wie z. B. die angegebene Reihe für In x. Sie konvergiert
für die Werte x zwischen 0 und 2, divergiert aber außerhalb dieses
Gebietes.
Es gibt exakte Kriterien dafür, ob eine Reihe konvergiert oder
nicht. Es würde aber den Rahmen dieses Buches übersteigen,