220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

13 Extremwert- und Wendepunktsbestimmung 75
Vergleichselektrode, etwa einer Kalomelektrode verbunden.
Die Kette weist eine gewisse elektromotorische Kraft E auf, die
z. B. durch Kompensation oder mit einem Röhrenvoltmeter gemessen
werden kann. Gibt man nun portionsweise in das Meßgefäß
aus der Bürette
Lösung, so fällt festes Ag J aus
und gleichzeitig ändert sich die
EMK. der Kette so, wie es in
Fig. 51 dargestellt ist.
Zunächst ändert sich E nur
wenig, dann in der Gegend
des Äquivalenzpunktes sehr
stark, um schließlich wieder •
einem kontanten Wert zuzustreben.
Dem Wendepunkt einer potentiometrischen Titration
Fig. 51. Verlauf der EMK. während
dieser Kurve kommt insofern
eine besondere Bedeutung zu, als er die quantitative Fällung des
AgJ anzeigt. Die Abszisse des Wendepunktes zeigt die der zu
titrierenden Jodidmenge äquivalente Menge an.
Ermittelung von Extremwerten
Nach dem vorhergehend Gesagten ist es von Bedeutung, die
Lage der Extremwerte und Wendepunkte einer Funktion bestimmen
zu können, und wir wollen uns jetzt mit den mathematischen
Grundlagen dieser Ermittelung befassen.
In Fig. 52 ist eine willkürlich angenommene Funktion qualitativ
dargestellt. Sie besitzt zwei Maxima (Max 1 und Max 2 ), ein Minimum
(Min), vier Wendepunkte
und schließlich
zwei Wendepunkte mit horizontaler Tangente
Verfolgt man nun längs der Kurve die Neigung der Tangente,
was man so tun kann, daß man mit einem tangential angelegten
Lineal an der Kurve entlangfährt, so findet man leicht, daß die
Extremwerte dadurch ausgezeichnet sind, daß die Tangenten in
ihnen parallel zur x-Achse liegen, also die Neigung der Kurve
im Maximum oder Minimum gleich Null ist. Da die Neigung der
Kurve in jedem Punkte durch die erste Ableitung der Funktion