220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

350 II. Teil. Funktionen zweier Veränderlichen
daß die Punkte zu einer linearen Funktion gehören sollen. Damit
ist uns die Aufgabe gestellt, zwischen den gemessenen Punkten
eine gerade Linie (Ausgleichsgerade, siehe 8. 26) möglichst unparteiisch
hindurchzulegem Man kann versuchen, das graphisch,
nach Augenmaß zu tun; besser aber, weil frei von Subjektivität,
ist ein rechnerisches Verfahren, das den oben angegebenen Namen
trägt.
Die hindurchzulegende Ausgleichsgerade habe in allgemeiner
Schreibweise die Gleichung
die beiden Konstanten
a und b werden nach der Methode der kleinsten Quadrate ermittelt.
Würden die gemessenen Werte fehlerfrei sein, also die Meßpunkte
genau auf der Geraden liegen, dann würde für jedes Wertepaar
usw. die Gleichung gelten:
(04)
insgesamt n Gleichungen bei Wertepaaren x, y. Da die Messungen
aber fehlerhaft sind, sind die gemessenen Werte y nicht
mit den aus dem gemessenen zugehörigen x berechneten
identisch, sondern unterscheiden sich hiervon durch einen Fehler
Damit lautet unser Gleichungssystem (94) in Wirklichkeit
( 9 5 ) ;
usw., insgesamt n-nml.
Die Fehler können dabei sowohl positiv als auch negativ sein.
Würde man nun einfach verlangen, daß die gesuchte Gerade so
durch die Punkte hindurchgelegt werden sollte, daß alle Fehler
sich gegenseitig aufheben, also
werden soll, so hätte man die linken Seiten des Gleichungssystems
(95) auch zu addieren und gleich Null zu setzen. Auf
diese Weise würde man die Gleichung
erhalten oder, kurz geschrieben,