220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

270 I. Teil. Funktionen einer Veränderlichen
entsprechend dem aus dem unbestimmten Ausdruck abgeleiteten
Wert.
Autokatalytisch beschleunigter Zerfall von Ag 2 0. Ein weiteres Beispiel
zur Einübung der Integration durch Partialbruchzerlegung
entnehmen wir ebenfalls der Reaktionskinetik.
Wir behandeln den Fall einer monomolekularen Reaktion mit
Autokatalyse. Es wird hierbei angenommen, daß beim Zerfall eines
Stoffes ein entstehendes Produkt die Reaktion katalystich beschleunigt,
wie es z. B. bei der thermischen Zersetzung von Ag 2 Oder
Fall ist, wo das entstehende Silber nach Lewis als Katalysator wirkt.
Die Differentialgleichung einer solchen Reaktion lautet
Es bedeuten wieder, wie auf S. 124, x die zersetzte Menge und a
die Anfangsmenge der zerfallenden Substanz, k u und k zwei Konstanten.
Der erste Summand auf der rechten Seite der Gleichung
mit der Geschwindigkeitskonstanten ist derjenige Geschwindigkeitsanteil,
der der unkatalysierten Reaktion entspricht. Die Geschwindigkeit
der unkatalysierten Reaktion wird jedoch um den
zweiten Anteil erhöht. Bei diesem Geschwindigkeitsanteil wird
einerseits angenommen, daß er proportional der jeweils noch vorhandenen
Menge des Ausgangsstoffes (α— x) ist, andererseits aber
auch proportional der Menge des gebildeten Katalysators, die
gleich der zersetzten Menge x des Ausgangs Stoffes ist.
Das zu berechnende Integral lautet
Der Integrand wird in zwei Partialbrüche zerlegt:
Für
erhält man