220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

266 I. Teil. Funktionen einer Veränderlichen
Die Integration des rechts vom Gleichheitszeichen stehenden Ausdrucks
ist nicht mit den uns bis jetzt bekannten Methoden durchführbar.
Sie gelingt jedoch nach der Methode der Integration
durch Partialbruchzerlegung.
Diese Methode beruht auf der Umkehrung einer in der Elementarmathematik
oft geübten Aufgabe, zwei oder mehrere Brüche
auf einen Hauptnenner zu bringen.
Wir erläutern die Methode am besten zunächst an einem einfachen
Zahlenbeispiel.
Es sei zu integrieren
Der Integrand ist eine sogenannte gebrochene rationale Funktion,
die dadurch gekennzeichnet ist, daß die höchste Potenz von x
im Zähler niedriger als diejenige im Nenner (nach Ausmultiplizieren
der Klammerausdrücke) ist. Er läßt sich als Summe von
drei Brüchen darstellen wie folgt:
(70)
Die Gl. (70) besagt, daß sich drei Zahlen A, B und C so finden
lassen, daß sie für jeden Wert von x identisch erfüllt ist.
Wir bringen die drei Brüche der rechten Seite dieser Identität
auf gleichen Nenner und erhalten, wenn wir den Nenner auf beiden
Seiten fortlassen,
Da die Gleichung für jeden Wert von x erfüllt sein muß, gilt
sie auch für Setzen wir diesen Wert ein, dann fallen die
Glieder II und III wegen der in ihnen vorkommenden Klammern
(x— 1) fort. (Aus diesem Grunde wählen wir gerade x = 1!) Es
ergibt sich