220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

63. Höhere partielle Differentialquotienten 345
Die Tatsache, daß
ist, wollen wir benutzen, um
eine in der Thermodynamik auftretende Formel abzuleiten.
Abhängigkeit der Molwärme C v vom Volumen. Wie ändert sich
die Molwärme C v mit dem Molvolumen bei gleichbleibender Temperatur,
d.h. also, wie groß ist
Aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik folgt, was hier
noch nicht bewiesen werden soll (vgl. S. 358), daß
ist, also durch den ersten partiellen Differential quotienten der
inneren. Energie nach der Temperatur bei konstantem Volumen
gegeben ist. Damit wird
Da die Differentiationsreihen folge vertauscht werden kann, ist
damit
Es gilt nun, wie hier ebenfalls nicht bewiesen werden soll, auf
Grund des ersten und zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik
die Gleichung (S. 374)
Damit erhalten wir
Der Ausdruck in der eckigen Klammer muß nun partiell nach T
differenziert werden, wobei zu berücksichtigen ist, daß p eine
Funktion von V und T ist. Bei der Differentiation des Produktes
benutzen wir die Produktregel (S. 123) und erhalten so