220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

332 II. Teil. Funktionen zweier Veränderlichen
zeitig Druck und Temperatur um kleine Beträge geändert werden.
Mathematisch handelt es sich um die Frage nach der Differentiation
einer Funktion zweier unabhängigen Variablen.
Es sei in Fig. 167 ein kleines Stück ABCD einer Fläche abgebildet,
die die Funktion
in rechtwinkligen räumlichen
Koordinaten darstellt.
Wie ändert sich nun der Wert von z, wenn wir vom Punkte A
aus zu einem Nachbarpunkte übergehen? Bei einer Kurve in
ebenen rechtwinkligen Koordinaten haben wir uns dieselbe Frage
auf S. 37 vorgelegt. Da war die Lösung insofern einfach, als sämtliche
Nachbarpunkte auf der Kurve lagen und zu einem bestimmten
auch ein bestimmtes gehörte. Hier sind die Verhältnisse
komplizierter, denn in der. Umgebung von A gibt es auf der
ganzen Fläche Punkte, die A benachbart sind, und der Funktionszuwachs
ist abhängig von der Richtung, in der wir unsere
Wanderung auf der Fläche vornehmen.
Man kann z. B. den Nachbarpunkt so wählen, daß sich bei der
Wanderung von A aus die y-Koordinate nicht ändert. Wir bewegen
uns dann auf der Schnittkurve der Fläche
mit
der Ebene y = const, die teilweise durch den Bogen AB dargestellt
sei. Der Zuvmchs (diese Schreibweise soll andeuten, daß y
während der Berechnung des Zuwachses konstant gehalten werden
soll) ist, wie der Figur entnommen werden kann,
ganz entsprechend unseren Überlegungen bei den Funktionen
einer Veränderlichen. Wir haben jetzt auch nur eine Veränderliche,
weil wir die zweite willkürlich festhalten. Ebenso finden
wir, daß der Zuwachs (Az) x bei Wanderung von A nach D, bei
konstant gehaltenem x, gegeben ist als
wenn ß einen Winkel bedeutet, der in entsprechender Weise wie oc
(nur am Bogen AD statt am Bogen AB gezeichnet) definiert ist.
Läßt man nun die Punkte B und D beliebig nahe an A herankommen,
geht also zur Grenze über, dann gehen und in