220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

72 13. Extremwert- und Wendepunktsbestimmung
andere Punkte mit den Buchstaben W 1 bis W 4 markiert. Man
nennt diese Punkte die Wendepunkte, weil sich in ihnen der Krümmungssinn
der Kurve ändert (die Kurve wendet sich). So besitzt
z. B. die Kurve in der Gegend des ersten Maximums von der x-Achse
aus betrachtet, eine konkave Krümmung, in der Gegend des Minimums
dagegen eine konvexe. Im Wendepunkt ändert sich der
Krümmungssinn von konkav nach konvex, so daß im Wendepunkt -
selbst die Kurve gar keine Krümmung besitzt.
Die Kenntnis der Lage der Extremwerte und Wendepunkte bei
einer Kurve ist von großer Bedeutung. Zunächst einmal gehört
zu der Diskussion einer Kurve neben der Angabe von Symmetrieeigenschaften,
der Lage der Nullstellen und Pole sowie etwaiger
Asymptoten auch die Angabe der Lage der Extremwerte und
Wendepunkte. Mit diesen Angaben kann man sich schon einen
guten qualitativen Überblick über den Verlauf der die Funktion
darstellenden Kurve verschaffen. Wenn man z. B. weiß, daß eine
Funktion bei x = —1 eine Nullstelle, bei x = 2 und x = 8 Maxima,
bei x = 4 ein Minimum und bei x — 3, x = b, x = 6 und x = 7,5
Wendepunkte besitzt und die positive x-Halbachse zur Asymptote
hat, dann kann die Kurve qualitativ nicht wesentlich anders verlaufen
als die in Fig. 46 dargestellte.
Aber nicht lediglich rein mathematisches Interesse besitzt die
Frage nach der Methode der Ermittelung von Extremwerten und
Wendepunkten einer Kurve. Auch für die chemisch-physikalische
Praxis ist sie von Bedeutung. Drei Beispiele sollen das qualitativ
erläutern.
1. Die elektrolytische spezifische Leitfähigkeit der Schwefelsäure
ist abhängig von der Verdünnung. Trägt man die spezifische
Leitfähigkeit x als Funktion der Normalität der Säure auf, so
erhält man die in Fig. 47 dargestellte Kurve. Man kann die Leitfähigkeit
dazu benutzen, um laufend die Konzentration der Säure
festzustellen und zu registrieren, denn zu jedem gemessenen x 0 -Wert
gehört ein bestimmter Wert n 0 . (Wegen der Form der Kurve ist
die Aussage über die Konzentration eigentlich zweideutig, denn
auch Schwefelsäure der Normalität n 1 besitzt ebenfalls die Leitfähigkeit
x 0 . Man weiß aber im praktischen Fall, ob man es mit
verdünnter oder hochkonzentrierter Säure zu tun hat und kann
einen der beiden Werte ausschließen.) Die Messung von x ist mit