220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

13. Extremwert- und Wendepunktsbestimmung 79
der ersten Ableitung die zweite und erhalten
An der Stelle
den Wert
Der negative Wert bedeutet, daß die erste Ableitung bei x = 1
die x-Achse fallend schneidet und daß die ursprüngliche Kurve
hier ein Maximum besitzt.
Ist hingegen so ist
Der positive Wert deutet ein Minimum der ursprünglichen Kurve an.
Ermittelung von Wendepunkten. Dritte Ableitung
Wie findet man nun einen Wendepunkt ?
Betrachten wir zu diesem Zweck die Lage der Tangenten in der
Nähe des zweiten Wendepunktes W 2 bei der Kurve in Fig. 52.
Die Tangenten bilden sowohl links wie rechts von W 2 einen spitzen
Winkel mit der positiven Richtung der a-Achse, der Tangens
dieses Winkels und damit
ist in der Umgebung von W 2 dauernd
positiv. Die Steigungen sind aber, obgleich ständig positiv, zunächst,
hinter dem Minimum, nur gering; dann werden die Tangenten
immer steiler, um ihre größte Steilheit am Wendepunkt zu
erreichen und dann wieder flacher und flacher zu verlaufen. Im
Wendepunkt besitzt also die Kurve die steilste Tangente bezüglich
der Nachbarpunkte, also muß bei der Abszisse des Wendepunktes
die erste Ableitung einen Extremwert besitzen: bei der Abszisse
von W 2 ist es ein Maximum, bei der Abszisse von W 1 ein Minimum..
Ein Extremwert bei der ersten Ableitung wird aber dadurch angezeigt,
daß die zweite Ableitung bei demselben Abszissenwert den
Wert Null hat. Wir wollen das an unserem Zahlenbeispiel zeigen.
Es ist