220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

42 I. Teil. Funktionen einer Veränderlichen
Der Begriff der Differenzierbarkeit einer Funktion ist nicht identisch
mit dem Begriff der Stetigkeit. Wir wollen aber auf diese
Fragen, die mehr rein mathematisches Interesse haben, im Rahmen
dieses Buches nicht eingehen.
An einem speziellen Beispiel jedoch, das der physikochemischen
Praxis entnommen ist, soll erläutert werden, daß auch stetige
Kurven in einzelnen Punkten keine eindeutig liegende Tangente
besitzen können. Fig. 31 stellt graphisch die Löslichkeit von
Natriumsulfat in Wasser als Funktion der Temperatur dar. Unterhalb
von 32,4° C nimmt die Löslichkeit mit wachsender Temperatur zu,
oberhalb dagegen ab. Bei 32,4° C besitzt die Kurve einen Knick.
Bildet man den ersten Differentialquotienten dieser Funktion
(Temperaturkoeffizient der Löslichkeit) und trägt diesen in einem
Koordinatensystem gegen die Temperatur auf, so erhält man eine
unstetige Kurve, die ebenfalls in Fig. 31 dargestellt ist. Bei
t = 32,4° C läßt sich also an die Löslichkeitskurve keine Tangente
in eindeutiger Lage legen, denn die Kurve besitzt hier eine Spitze.
Man erhält für t =,32,4° C, je nach der Annäherungsrichtung, zwei
verschiedene Grenzwerte für den Differentialquotienten.
Selbstverständlich bedeutet das Auftreten eines Knickes in der
Löslichkeitskurve, daß mit dem untersuchten Stoff bei der Temperatur
von 32,4° C etwas Besonderes geschieht. Hier wandelt sich
nämlich das Dekahydrat Na 2 S0 4 • 10H 2 O, welches nur unterhalb
von 32,4° C beständig ist, in das anhydrische Salz Na 2 S0 4 um.
8. Einige Differentiationsregeln
Differentiation von y=x n
Es gibt eine Anzahl von Differentiationsregeln, die wir nach
und nach kennenlernen werden.
Wir wollen dabei beginnen mit dem Fünktionstypus y = x n ,
wenn n irgendeine beliebige Zahl ist.
Es ist z. B. die Molwärme bei konstantem Volumen C v eines
sogenannten idealen festen Körpers in der Nähe des absoluten
Nullpunktes gegeben als Differentialquotient der. Temperaturfunktion
also