220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

32. Das Rechnen mit Reihen 189
diese Kriterien im einzelnen zu besprechen. Es muß daher auf
die mathematischen Lehrbücher verwiesen werden. Erwähnt sei
lediglich die Forderung für die Konvergenz einer Reihe, daß ihre
Glieder von einer bestimmten Stelle an immer kleiner werden
müssen. Jedoch ist dies lediglich eine notwendige, aber keine hinreichende
Bedingung.
So ist z. B. die sogenannte harmonische Reihe
divergent (sie divergiert allerdings schwach), obgleich jedes Glied
kleiner ist als das vorhergehende. Ihre Divergenz läßt sich leicht
durch die Aufstellung einer Vergleichsreihe zeigen, deren Glieder
kleiner als die Glieder der harmonischen Reihe (oder höchstens
gleich) sind. Man nennt eine solche Vergleichsreihe eine Minorante.
Eine solche Minorante der harmonischen Reihe ist z. B.
Die einzelnen Glieder der Minorante lassen sich in angegebener
Weise zusammenfassen, und so erhält man
Daß ihr Wert bei unendlich vielen Gliedern über jede Grenze hinauswächst,
ist augenscheinlich. Wenn die Minorante der harmonischen
Reihe also divergent ist, dann muß es die harmonische
Reihe selbst erst recht sein, da ihre Glieder ja denen der Vergleiehareihe
gleich oder sogar größer als diese sind.
32. Das Rechnen mit Reihen
Da eine konvergierende unendliche Reihe bei Berücksichtigung
ihrer sämtlichen Glieder vollberechtigt an Stelle der Funktion
treten kann, lassen sich alle Rechenoperationen statt mit der
Funktion selbst mit ihrer Reihe durchführen. Man kann also
Reihen addieren, multiplizieren, differenzieren und (was wir noch