220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

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266 I. Teil. Funktionen einer Veränderlichen Die Integration des rechts vom Gleichheitszeichen stehenden Ausdrucks ist nicht mit den uns bis jetzt bekannten Methoden durchführbar. Sie gelingt jedoch nach der Methode der Integration durch Partialbruchzerlegung. Diese Methode beruht auf der Umkehrung einer in der Elementarmathematik oft geübten Aufgabe, zwei oder mehrere Brüche auf einen Hauptnenner zu bringen. Wir erläutern die Methode am besten zunächst an einem einfachen Zahlenbeispiel. Es sei zu integrieren Der Integrand ist eine sogenannte gebrochene rationale Funktion, die dadurch gekennzeichnet ist, daß die höchste Potenz von x im Zähler niedriger als diejenige im Nenner (nach Ausmultiplizieren der Klammerausdrücke) ist. Er läßt sich als Summe von drei Brüchen darstellen wie folgt: (70) Die Gl. (70) besagt, daß sich drei Zahlen A, B und C so finden lassen, daß sie für jeden Wert von x identisch erfüllt ist. Wir bringen die drei Brüche der rechten Seite dieser Identität auf gleichen Nenner und erhalten, wenn wir den Nenner auf beiden Seiten fortlassen, Da die Gleichung für jeden Wert von x erfüllt sein muß, gilt sie auch für Setzen wir diesen Wert ein, dann fallen die Glieder II und III wegen der in ihnen vorkommenden Klammern (x— 1) fort. (Aus diesem Grunde wählen wir gerade x = 1!) Es ergibt sich
42. Integration durch Partialbruchzerlegung 267 Aus der gleichen Überlegung heraus setzen wir jetzt dann Wir erhalten und und Durch diese Rechnung haben wir die drei gesuchten Werte A, B und 0 gefunden und können den Integranden in die drei folgenden Brüche zerlegen: Damit geht das gesuchte Integral in eine Summe von drei Teilintegralen über. Die Teilintegrale können sofort nach der Substitutionsmethode errechnet werden. Nach Durchrechnung dieses numerischen Beispieles kehren wir zu unserem, den Chemiker mehr interessierenden Ausgangsproblem zurück. Anwendungsbeispiele Vollständig verlaufende bimolekulare Reaktion. Das uns bei der vollständig verlaufenden bimolekularen Reaktion (S. 265) entgegengetretene Integral ist nun genau nach dem eben behandelten Vorbild zu integrieren. Wir zerlegen den Integranden in zwei Partialbrüche
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Einführung in die höhere Mathemat
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GELEITWORT DES HERAUSGEBERS Für di
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Geleitwort des Herausgebers IX Das
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Vorwort des Verfassers XI werter al
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INHALT I.Teil. Funktionen einer Ver
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Inhalt 3. Kapitel. Graphische, nume
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4 I. Teil. Funktionen einer Veränd
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6 1. Teil. Funktionen einer Veränd
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8 I. Teil. Funktionen einer Veränd
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2. Darstellung von Funktionen 11 tr
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2. Darstellung von Funktionen 13 Un
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2. Darstellung von F u n k t i o n
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2. Darstellung von Funktionen 19 De
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2. KAPITEL Die wichtigsten Funktion
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3. Die Konstante 23 Temperatur. Inf
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3. Die Konstante 25 lauft die Gerad
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4. Die Proportionalität 27 die Me
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6. Die lineare Funktion 29 Eine bes
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im b red , t-System darzustellen. W
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6. Die Parabeln y = x n 33 6. Die P
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7. Der Begriff des Differentialquot
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tion. 7. Der Begriff des Differerit
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8. Einige Differentiationsregeln 43
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8. Einige Differentiationsregeln 45
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Im angenommenen Beispiel ist 9. Das
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9. Das Differential 4y Es ist aber
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10. Umkehrfunktionen und Umkehrrege
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10. Umkehrfunktionen und Umkehrrege
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11. Die Funktionen vom Typus 55 II.
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11. Die Funktionen vom Typus 57 Wie
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11. Die Funktionen vom Typus 59 son
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11. Die Funktionen vom Typus 61 lum
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11. Die Funktionen vom Typus 63 bin
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12. Die Kettenregel 65 tiationsrege
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12. Die Kettenregel G7 Kurve III) d
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12. Die Kettenregel 69 Damit wird D
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13. Extremwert- und Wendepunktsbest
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13 Extremwert- und Wendepunktsbesti
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Die Funktion 13. Extremwert- und We
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und daher ist 13. Extremwert- und W
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Ist diese festgelegt, dann ist auch
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16. Logarithmische Papiere 107 Beso
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17. Der logarithmische Rechenschieb
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X 0.00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,0
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19. Produkt- und Quotientenregel 12
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20. Die negative Exponentialfunktio
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21. Die Funktion y = e x 139 21. Di
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21. Die Funktion 141 Die ganze Kurv
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21. Die Funktion 143 Kubikzentimete
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21. Die Funktion 145 Tabelle 9 Temp
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22. Die Funktionen 149 ist eine Kon
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22. Die Funktionen 153 Wie sieht nu
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22. Die Funktionen 155 Der Ausdruck
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23. Die Hyperbelfunktionen 159 Ganz
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Näherungsverfahren zw Auflösung v
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26. Das Newtonsche Näherungsverfah
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26. Das Newtonsche Näherungsverfah
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27. Das Iterationsverfahren 175 So
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27. Das Iterationsverfahren 177 Tab
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4. KAPITEL Reihendarstellung von Fu
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28. Der Begriff der Potenzreihe 181
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28. Der Begriff der Potenzreihe 183
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29. Die MacLaurin-Reihe 185 So lass
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30. Die Taylor-Reihe 187 sogenannte
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32. Das Rechnen mit Reihen 189 dies
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33. Die binomische Reihe und das Re
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5. KAPITEL Unbestimmte Ausdrücke 3
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34. Der Begriff des unbestimmten Au
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35. Auswertung unbestimmter Ausdrü
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1. KAPITEL Allgemeines über Differ
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36. Etwas über Differentialgleichu
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Anhang 381 Ermittle den Wert des be
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