220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

3. KAPITEL
Näherungsverfahren zur Auflösung von Gleichungen
Problemstellung
Bei der Untersuchung der Lage von Extremwerten und Wendepunkten
einer analytisch gegebenen Funktion werden die erste
bzw. zweite Ableitung der Funktion gleich Null gesetzt und dann
aus den so erhaltenen Bestimmungsgleichungen die gesuchten
Abszissenwerte berechnet. In den vorhergehenden Paragraphen
hatten wir eine Reihe solcher Beispiele durchgerechnet. Diese
Beispiele waren so ausgewählt, daß die fraglichen Bestimmungsgleichungen
sich leicht auflösen ließen. Das ist nun, wie schon
S. 82 erwähnt, nicht immer der Fall. Algebraische Gleichungen
von höherem Grade
sind nicht mehr in allgemeiner Form lösbar, ebenso nicht die
transzendenten Gleichungen, also solche, bei denen die Unbekannte
x im Exponenten oder unter dem Zeichen In, sin, tg usw. auftritt
Die Wurzeln solcher Gleichungen müssen daher durch numerische
oder graphische Verfahren ermittelt werden. Die einfachste
graphische Methode ist die, daß man z. B. zur Auflösung der
Gleichung
sich für die Funktion
eine Tabelle aufstellt, nach der Tabelle eine Kurve zeichnet und
zusieht, wo die Nullstellen der dargestellten Funktion liegen, also
wo die gezeichnete Kurve die x-Achse schneidet. Diese Methode
der Auflösung einer Gleichung liefert die gesuchten Wurzeta nur
angenähert. Die Güte der Annäherung hängt in erster Linie von
der Größe des gewählten Zeichenmaßstabes ab.
Die graphisch ermittelten angenäherten Werte müssen durch
besondere Rechenverfahren verbessert werden bis zu der Genauigkeit,
die bei dem betreffenden Problem erforderlich ist. Zwei dieser