220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

204 I. Teil. Funktionen einer Veränderlichen
Es sei eine Funktion, die an der Stelle die unbestimmte
Form annimmt. Es ist also und gleichzeitig
Wir können nun sowohlals auchan
der Stelle x = a in eine Taylor-Reihe entwickeln und erhalten
Die ersten Reihenglieder im Zähler und Nenner fallen fort, da
sie den Wert Null haben. Man kann jetzt im Zähler und Nenner
ausklammern und wegkürzen und erhält dann
Läßt man nun
nach Null gehen, so ergibt sich
Der gesuchte Grenzwert ist also gegeben als Quotient der Ableitungen
der Teilfunktionen und an der
Stelle denn die höheren mit behafteten Glieder der Taylor-Entwicklungen
fallen für
weg.
Wir wollen diese Regel am eben besprochenen Beispiel erläutern.
Es sei wieder
Durch Einzeldifferentiation von Zähler und Nenner (nicht zu verwechseln
mit der Differentiation eines Quotienten!) folgt dann