220486_Einfuhrung_In_Die_Ho_Here_Mathematik.pdf

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80 I. Teil. Funktionen einer Veränderlichen Die zweite Ableitung verschwindet, wenn Fig. 64. Untersuchung der beiden verschiedenen Fülle von Wendepunkten mit horizontaler Tangente Dies ist die Abszisse des Wendepunktes, der natürlich, so wie es auch sein muß, zwischen dem Maximum bei x = 1 und dem Minimum bei x = 2 liegt. Nach dem oben Gesagten ist es auch leicht zu überlegen, wie man einen Wendepunkt mit horizontaler Tangente von den anderen Wendepunkten unterscheiden kann. Weil die Kurve in diesem Punkte eine waagerechte Tangente besitzt, m u ß ) sein, da es sich aber aucn um einen Wendepunkt handelt, muß gleichzeitig einen Extremwert uesitzen und damit sein. Wir können sogar durch eine besondere Untersuchung feststellen, um welchen der beiden möglichen, in Fig. 54 dargestellten Fälle es sich handelt. Im Falle I besitzt die erste Ableitung bei der Abszisse von ein Minimum und daher passiert die zweite Ableitung die X-Achse steigend. Die Ableitung der zweiten Ableitung, das ist die dritte Ableitung der ursprünglichen Funktion, (lies : y drei Strich) oder (lies: d
13, Extremwert- und Wendepunktsbestimmung 81 drei y nach dx hoch drei) muß also hier einen positiven Wert besitzen. Umgekehrt ist es beim Fall II. Die Funktion die in Fig. 55 dargestellt ist, besitzt einen Wendepunkt mit horizontaler Tangente. Fig. 55. Graphische Darstellung der Funktion Die zweite Ableitung gleich Null gesetzt, ergibt Wegen Übereinstimmung der beiden Ergebnisse kann es sich nicht um einen Extremwert bei x = 1 handeln, sondern nur um einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Da ' positiv ist (für jeden Wert von x), handelt es sich also um den in Fig. 54 dargestellten Fall I. Zusammenfassend stellen wir nachstehendes Schema auf. wenn Maximum Minimum Wendepunkt mit horizontaler Tangente Null Wendepunkt Extremwert A s m u s, Einführung in die höhere Mathematik negativ positiv Null
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Einführung in die höhere Mathemat
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GELEITWORT DES HERAUSGEBERS Für di
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Geleitwort des Herausgebers IX Das
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Vorwort des Verfassers XI werter al
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INHALT I.Teil. Funktionen einer Ver
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Inhalt 3. Kapitel. Graphische, nume
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4 I. Teil. Funktionen einer Veränd
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6 1. Teil. Funktionen einer Veränd
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8 I. Teil. Funktionen einer Veränd
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2. Darstellung von Funktionen 11 tr
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2. Darstellung von Funktionen 13 Un
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2. Darstellung von Funktionen 15 te
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2. Darstellung von F u n k t i o n
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2. Darstellung von Funktionen 19 De
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2. KAPITEL Die wichtigsten Funktion
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3. Die Konstante 23 Temperatur. Inf
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3. Die Konstante 25 lauft die Gerad
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4. Die Proportionalität 27 die Me
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Seite 47 und 48: 6. Die Parabeln y = x n 33 6. Die P
Seite 49 und 50: 7. Der Begriff des Differentialquot
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Seite 81 und 82: 12. Die Kettenregel G7 Kurve III) d
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Seite 89 und 90: 13 Extremwert- und Wendepunktsbesti
Seite 91 und 92: Die Funktion 13. Extremwert- und We
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Seite 97 und 98: und daher ist 13. Extremwert- und W
Seite 105 und 106: Ist diese festgelegt, dann ist auch
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20. Die negative Exponentialfunktio
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21. Die Funktion y = e x 139 21. Di
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21. Die Funktion 141 Die ganze Kurv
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21. Die Funktion 143 Kubikzentimete
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21. Die Funktion 145 Tabelle 9 Temp
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22. Die Funktionen 147 besteht. Ent
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22. Die Funktionen 149 ist eine Kon
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22. Die Funktionen 151 Bei der allg
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22. Die Funktionen 155 Der Ausdruck
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23. Die Hyperbelfunktionen 157 sulf
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Näherungsverfahren zw Auflösung v
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26. Das Newtonsche Näherungsverfah
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26. Das Newtonsche Näherungsverfah
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27. Das Iterationsverfahren 175 So
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27. Das Iterationsverfahren 177 Tab
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4. KAPITEL Reihendarstellung von Fu
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28. Der Begriff der Potenzreihe 181
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28. Der Begriff der Potenzreihe 183
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29. Die MacLaurin-Reihe 185 So lass
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30. Die Taylor-Reihe 187 sogenannte
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32. Das Rechnen mit Reihen 189 dies
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32. Das Rechnen mit Reihen 191 Wir
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33. Die binomische Reihe und das Re
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5. KAPITEL Unbestimmte Ausdrücke 3
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34. Der Begriff des unbestimmten Au
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35. Auswertung unbestimmter Ausdrü
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1. KAPITEL Allgemeines über Differ
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36. Etwas über Differentialgleichu
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36. Etwas über Differentialgleichu
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37. Das unbestimmte Integral 217 su
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37. Bas unbestimmte Integral 219 Ma
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37. Das unbestimmte Integral 221 un
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38. Bestimmtes Integral und sein Zu
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2. KAPITEL Integrationsmethoden Beg
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39. Grundintegrale 241 Es sei zu in
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39. Grundintegrale 243 Zur Durchfü
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39. Grundintegrale 245 portional de
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39. Grundintegrale 247 Damit erhalt
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40. Die Substitutionsmethode 249 Al
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also mathematisch ausgedrückt, ist
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4L Partielle Integration 257 Das zw
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4L Partielle Integration 263 Mit di
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42. Integration durch Partialbruchz
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43. Näherungsweise Auswertung von
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3. KAPITEL Graphische, numerische u
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44. Mechanische Methoden zur Auswer
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44. Mechanische Methoden zur Auswer
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45. Numerische Näherungsmethoden z
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46. Ermittelung der Stammfunktion u
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46. Ermittelung der Stammfunktion u
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47. Ermittelung der Stammfunktion d
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47. Ermittelung der Stammfunktion d
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1. KAPITEL Darstellung von Funktion
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48. Analytische und tabellarische D
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51. Darstellung durch eine Fluchtli
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2. KAPITEL Differentiation 62. Part
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52. Partielle Differentiation und d
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52. Partielle Differentiation and d
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53. Höhere partielle Differentialq
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63. Höhere partielle Differentialq
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54. Ermittelung von Extremwerten 34
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55. Ausgleichsrechnung nach der Met
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3. KAPITEL Integration 56. Das voll
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56. Das vollständige und das unvol
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56. Das vollständige und das unvol
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57. Integration eines vollständige
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