Des Claudius Ptolemäus Handbuch der astronomie ..

26 Erstes Buch. Zehntes Kapitel.
Beweis zu A. Da die Gerade AP in E halbiert ist und
in ihrer Fortsetzung die Gerade AZ liegt, so gilt der Satz
• Hei 83 rz ZA -f EA* = EZ*. (Eukl. II. 6)
Nun ist EZ = EB, (nach Konstruktion)
+ EA' = EB«.
Es ist aber EB^ = EA*-1- AB*, I. (Eukl. 47)
folglich rZ-ZA + EA*=EAHAB«,
oder rZZA = AB*, beiderseits EA- abgezogen.
Nun ist AB = Ar,
• 5 folglich rz ZA
10 folglich rzzA = Ar»,
oder rZ:Ar = Ar:ZA.
Mithin ist fZ in Punkt A nach äußerem und mittlerem
Verhältnis (d. i. im Verhältnis des „goldenen Schnittes") ge-
schnitten (nach Eukl. VI. Def. 3). Da nun (nach Eukl. XIII. 9)
15 die Seite des eingeschriebenen Sechsecks und die Seite des
in denselben Kreis eingeschriebenen Zehnecks, beide auf die-
selbe Gerade abgetragen, nach äußerem und mittlerem Verhältnis
geschnitten werden, und da ferner A f als Halbmesser
(nach Eukl. IV. 15 Zusatz) die Seite des Sechsecks mißt,
20 so ist folglich ZA gleich der Seite des Zehnecks.
Beweis zu B. Es ist (nach Eukl. XIII. 10) das Quadrat
der Seite des eingeschriebenen Fünfecks gleich der Summe
der Quadrate der Seiten des in denselben Kreis eingeschriebenen
Sechsecks und Zehnecks. Nun ist in dem rechtwink-
25 ligen Dreieck BAZ
Hei34 BZ*=BA*+ZA'. (Eukl. I. 47)
Ha 28 Es ist aber BA (als Halbmesser) die Seite des Sechsecks,
und ZA (wie oben bewiesen) die Seite des Zehnecks: folglich
ist (nach dem angeführten Satze) BZ die Seite des
80 Fünfecks.
Mit Hilfe der vorstehend bewiesenen Verhältnisse gelangen
wir, da wir, wie gesagt, den Durchmesser des Kreises gleich
120^ setzen, zur Bestimmung folgender Sehnen.
1. AE=y,r = 30P, also AE* = 900P*,
35 AB= r = 60P, also AB*=3600p',