Des Claudius Ptolemäus Handbuch der astronomie ..

Verhältnis zwischen Bogen und Sehnen. 29
oder AB.Ar = AE BA.
Nun war AABr = rEBA; durch Sununierung
folglich ABAr + AABr = AEBA + rEBA
= (AE4-rE)BA
= A r • B A was zu beweisen war. 5
,
Dieser Lehrsatz mußte vorausgeschickt werden.
I. Es sei AB TA ein Halbkreis auf dem Durchmesser AA.
Von A aus ziehe man die beiden Sehnen AB und AT. Jede Hei 38
derselben sei der Größe nach gegeben in dem Maße, in welchem
der Durchmesser mit 120^ gege- ^ 10
ben ist. Man ziehe die Verbindungs-
linie Bf. Meine Behauptung geht
dahin, daß auch die Sehne B f sich
bestimmen läßt.
Beweis. Man ziehe die Sehnen
BA und TA. Gegeben sind natürlich auch diese, weil
^
sie
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die Supplementbogen der gegebenen Sehnen unterspannen
(Satz 6 S. 27f.). Da AB PA ein in den Kreis eingeschriebenes
Viereck ist, so gilt (nach dem vorausgeschickten Satz)
AB.rA + AA.Br = Ar.BA. 20
Gegeben ist sowohl Af-BA, als auch AB« TA, folglich Ha si
• auch die DiiFerenz AA Bf. Nun ist AA der Durchmesser,
mithin ist auch die Sehne Bf zu bestimmen.
(AA.Br = Ar.BA-AB.rA
Es lautet demnach der hieraus sich ergebende
Lehrsatz. Wenn zwei Bogen und die sie unterspannenden
Sehnen gegeben sind, so wird auch die Sehne gegeben
sein, welche die Differenz der beiden Bogen unterspannt.
Es leuchtet ein, daß wir mit Hilfe dieses Lehrsatzes so- 30
wohl nicht wenige andere Sehnen nach den von Fall zu Fall
gegebenen Differenzen in die Tafeln eintragen werden, als Hei 39
auch insbesondere die den Bogen von 12° unterspannende
Sehne, da wir ja sowohl die Sehne zum Bogen von 60^ als
auch die zum Bogen von 72° zur Verfügung haben. 35