Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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sicché ad una coppia di numeri ^, rj si può sostituire una coppia
qualsiasi di numeri proporzionali, senza alterare l'elemento rap-
presentato. Alla coppia (0, 0) non corrisponde nessun elemento.
Per portare un esempio supporremo che la forma in que-
stione sia una punteggiata propria, sulla quale sia già fissato
un sistema di ascisse ; allora Y origine avrà le coordinate omogenee
0, 1 ; il punto all'infinito le coordinate 1, 0; il punto
di ascissa 1, avrà le coordinate 1, 1, ecc. ; ricordando che
quelle coppie di numeri possono alterarsi per uno stesso fattore,
senza mutare il punto rappresentato.
In coordinate omogenee ^, t], un gruppo di n elementi di
una forma di prima specie è rappresentato da una equazione
algebrica ed omogenea di grado w, del tipo
Esercizi — 1) Calcolare il doppio rapporto dei due punti rappresentati
dall'equazione ax^ -{- 2hx -{- e = 0, coi punti di coordinate /y. y'.
2) Calcolare il doppio rapporto k dei quattro punti rappresentati, i
due primi dall'una, i due ultimi dall'altra delle equazioni
ax- -{- 2bx -r e — 0, a'x'^ + 2 6'^ + e' = 0.
Si troverà
1 -^ k _ ac' + a'c — 2bb '
i — k ~ ±2 VW^~^ |/6'2 —T'c' '
donde, indicando con H il numeratore del secondo membro e con A, A' i
binomi sotto ai radicali, si trae
H^ ~ éA A'
Queste formole forniscono subito l'armonizzante e il risultante delle
due coppie ; e ci dicono clie queste, supposte costituite da punti reali, non si
separano o si separano, secondo che H'^ — 4 A A' è positivo o negativo.
3) Determinare l'equazione della coppia dei punti che separano armonicamente
le due coppie date dalle precedenti equazioni ; e dimostrare che
essa si compone di punti reali o immaginari, secondo che le coppie date
non si separano o si separano (cfr. n." 53Ì.
4) Si esaminino tutti i casi in cui coincidono due dei sei doppi rapporti,
generalmente distinti, formati con quattro elementi (n." 46). Oltre ai casi già
1 A: i Vs
noti, o che a questi si riconducono, si troveranno i valori k =
(radici dell'equazione A-^ = — 1), relativi a gruppi di elementi AB CD
detti equianarmonici (Cremoxa), dei quali un elemento almeno è imma-
ginario. Posto che {AB CD) abbia uno dei due valori di k, lo stesso
valore hanno {ACDB), (ADBC), mentre il valore coniugato appartiene
aà{ABDC),{ADGB), (ACBD).
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