Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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distanza. Qua!' è il minimo valor assoluto della distanza di punti corrispon-
denti in una proiettività ellittica?
11) Dati due fasci di rette proiettivi, non sovrapposti, segarli con una
trasversale in guisa da ottenere due punteggiate simili (n.° 78, es. 6)), od
anche due punteggiate inversamente (n.° 88, es. 5 )), o direttamente uguali.
12) Date due punteggiate proiettive m, u' su rette distinte, proiettare
la u sul sostegno della u' da un punto tale, che la nuova punteggiata ri-
sulti direttamente od inversamente uguale alla u'
13) Date due coppie di elementi A A', B B' sopra una forma di prima
specie, costruire una proiettività parabolica in cui Ae B abbiano per cor-
rispondenti A' e B' (n." 88, es. 4)). Come applicazione: dati due angoli
collo stesso vertice, condurre per un dato punto una tal trasversale, che le
corde sopra essa segate dagli angoli risultino direttamente uguali.
14) Dati tre segmenti sopra una retta, costruire un punto dal quale i
segmenti siano visti sotto angoli uguali (n.° 53, es. 11) ).
15) Data una proiettività ellittica sopra una retta, esistono in ogni
piano per la retta due punti, da ciascuno dei quali quella proiettività vien
proiettata mediante una eguaglianza diretta.
Ili — 16) Il problema di costruire un triangolo, i cui vertici cadano su
tre rette Mj, 1*2, M3, e i cui lati passino per tre punti ^'12, ^23) '^'31, ha i seguenti
casi particolari notevoli: quando le tre rette concorrono in un punto, poi-
ché allora una soluzione è degenere, e l'altra può costruirsi linearmente;
quando i tre punti sono allineati, perchè si presenta un fatto analogo; quando
ambedue le condizioni sono verificate insieme, perchè allora si hanno due
soluzioni degeneri, e in generale nessuna vera soluzione, a meno che, per
una posizione particolare dei dati, ]ion esista una vera soluzione, nel qual
caso esistono infinite soluzioni costituite da triangoli a due a due omologici
rispetto al centro u^UiU-, e all'asse .S^o S03 N':u ; finalmente, quando le
tre rette m e i tre punti S costituiscono due triangoli tali, che i lati del
secondo passino per i vertici del primo (precisamente S31 S12 per il punto
«.,M3, ecc.), perchè allora il problema ammette infinite soluzioni, come afferma
l'enunciato: «se di due triangoli il primo è iscritto nel secondo,
esistono infiniti triangoli iscritti nel primo e circoscritti al secondo ».
17) In generale, date n rette, volendo determinare n punti tali, che
esistano infiniti n.goni semplici, i cui vertici cadano sopra le n rette ed i
cui lati passino per gli n punti, si possono di questi assumere « — 2 ad
arbitrio, ed ancora uno (n — l).esimo ad arbitrio sopra una retta determi-
nata dai dati; con ciò 1' n.esimo punto è completamente determinato; ( n." 70,
es. 6)).
18) Siano date n rette «j, Mg, • • • "«
.
; ^a un punto incognito Xj di Mj
parte un raggio luminoso x^ in direzione assegnata, il quale si riflette sopra
M..; il raggio riflesso (o il suo prolungamento) si riflette sopra «3, e cosi via
finche il raggio x„, riflesso sopra it,,, (o il suo prolungamento) incontra di
nuovo «1; determinare Xi in guisa che l'incontro avvenga precisamente
in Xi. È possibile determinare la direzione di xj, in modo che risulti