Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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II — 15) Il luogo dei poli di un piano n, rispetto ad una schiera di
quadriclie confocali, è una retta f normale al piano n nel punto, ove n è
toccato da una quadrica della schiera ; p è dunque normale a questa qua-
drica in quel punto. La retta -p contiene, in particolare, i poli delle rette
sezioni di n coi piani principali, rispetto alle coniche focali appartenenti
a quei piani (n." 369, es. 28)).
16) Segue ; « sopra un piano principale di una quadrica rimane deter-
minata una polarità, in cui si corrispondono le tracce di ogni piano ti, e
della retta f perpendicolare e coniugata con n rispetto alla quadrica; la
curva fondamentale della polarità piana è la conica focale giacente su quel
piano principale» (Chasles, Eeye; cfr. n." 254).
17) Segue pure dal teorema 15) : « due piani perpendicolari e coniu-
gati rispetto ad una quadrica, sono coniugati rispetto ad ogni quadrica
confocale ; essi segano sopra un piano principale coppie di rette coniugate
rispetto alla relativa conica focale ».
18) Un triedro trirettangolo aiTtoconiugato rispetto ad una quadrica è
pure autoconiugato rispetto alle quadriche confocali. Ogni punto generico ^
dello spazio è vertice di un siffatto triedro ; esso è formato dai piani prin-
cipali del cono circoscritto da S ad una (qualsiasi) quadrica della schiera, o
dai piani tangenti alle tre quadriche della schiera passanti per S. Se però S
appartiene ad una conica focale, esistono infiniti triedri siffatti di ver-
tice iS, aventi, come spigolo comune, la tangente a quella conica in S.
19) Una retta, per cui passino (due e quindi) infinite coppie di piani
coniugati rispetto ad una quadrica, dicesi asse focale di quella quadrica (e
di ogni quadrica confocale). Le tangenti alle coniche focali sono, ad es.,
assi focali (Plucker). Un asse focale è retta focale per il cono circoscritto da
un suo punto ad una qualsiasi quadrica della schiera ; e viceversa.
20) Per ogni punto generico 5^ dello spazio passano sei assi focali, tra
cui due soli reali, che sono le rette focali dei coni confocali circoscritti da -S
alle quadriche della schiera.
21) Gli assi focali reali di una schiera di quadriche confocali sono le
rette degli iperboloidi rigati appartenenti alla schiera (Chasles).
Ili — 22) Il cono circoscritto ad una quadrica da un fuoco F^ cioè
da un punto di una conica focale, tocca la quadrica lungo una conica si-
tuata nel piano polare di F^ che è perpendicolare al piano principale con-
tenente F. Quel cono è rotondo (n.°401, li) ) e, tocca quindi il cono assoluto di
vertice J*^ lungo due generatrici aventi direzioni assolute; il piano di queste
è normale all' asse del primo cono, cioè alla tangente in J'"' alla conica focale.
Segue : « il cono assoluto, che ha per vertice un fuoco F di una
quadrica, è tangente alla quadrica in due punti, la cui congiungente f (diret-
trice relativa al fuoco F) è perpendicolare al piano principale contenente F^
e sta nel piano normale in F alla conica focale, cui F appartiene. Questo
piano sega la quadrica lungo una conica, di cui i'^ è un fuoco ed /" è la
relativa direttrice » (Chasles).
23) Il cono assoluto di centro F sega la quadrica lungo due coniche
(n.° 369, es. 15)) (cerchi immaginari) appartenenti ai due piani ciclici passanti