Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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. — 188 — fisso in verso positivo; mentre se il punto mobile percorre il contorno in verso negativo^ quel raggio ruota in verso negativo. Possiamo ancora notare che, date le nostre convenzioni, un osservatore il quale percorra il contorno in verso positivo, restando al disopra del piano dell'area, lascia Tarea alla sua sinistra. Ora noi riguarderemo come 'positiva o negativa un' area, secondo che il contorno di essa si immagina descritto in verso positivo o negativo; al valore aritmetico dell'area (relativo ad una determinata unità di misura) premetteremo, secondo i casi, il segno -f- o il segno — In particolare, se Pi, P^, Pz sono i vertici di un triangolo, col simbolo Pi Pg Pg indicheremo il valore dell' area del triangolo preso col segno -f- o — , secondo che un osservatore, il quale descriva il perimetro passando successivamente per i vertici Pi, P2, P3, lascia l'area a sinistra od a destra. Stabilendo le analoghe convenzioni per le altre permutazioni dei tre vertici, risultano le uguaglianze P1P2P3 = P2P3P1 == P.PrP, = ^ PtPsP2 = - P^PlPs = - P3P1P2. Condotta da uno dei vertici, ad es. da Pi, la perpendicolare Pi Q sul lato opposto P2 P3 , è ora il caso di chiederci quali convenzioni si debbano rispettare, perchè la nota formola esprimente l'area: (1) P1P2P3 = y PlQ ' P2P3, valga anche nei segni. A tal fine cominciamo ad assumere, come verso positivo sul lato, quello che va da P2 a P3 , di guisa che P2P3 avrà un valore positivo; e come verso positivo sopra l'altezza Pi Q, quello che si porta a coincidere col verso positivo del lato corrispondente mediante la rotazione dell'angolo -f- '^^ Allora per un osservatore che percorra il lato P2P3 nel verso positivo, il vertice Pi e l'area restano da una stessa banda; quindi l'altezza Pi Q, e l'area hanno lo stesso segno (positivo o negativo, secondo che quella banda è la sinistra o la destra), sicché, nella nostra ipotesi, la (1) sussiste anche nel segno. Ma ciò si verifica pure quando sul lato P3 P3 , e quindi sul!' altezza
— 189 — Pi Q, si inverta il verso positivo, giacché allora mutano segno i due fattori a secondo membro della (1), mentre il primo membro conserva il suo segno. Concludiamo che l' area di un triangolo è espressa, anche nel segno, dalla formola (1), purché, comunque sia fissato il verso positivo sopra il lato, si assuma come positivo sull'altezza corrispondente quel verso, che si porta a coincidere col primo verso mediante la rotazione di -j- ^ • 120. Espressione dell'area di un triangolo in funzione delle coordinate dei vertici. — Siano Pi{xi, y^), P-iix^^ yo), Paixs^ y-^) i tre vertici del triangolo. Partiamo dalla formola (1) PrP.Ps = 4 ^1^ • ^^^^' la quale sussiste pure nel segno, quando sulle rette PiQ, che chiameremo n, e P-^Pa^ che chiameremo r, siano fìssati i versi positivi in guisa che sia wr = -]- -^- • Per calcolare PiQ scriviamo l'equazione della retta r sotto forma normale. Ora l'equazione generale
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— espili ampia che chiameremo A^]
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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e fatto z - 263 —
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 355 — e si noti che, quando M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 415 — dove p è una costante
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 457 — il piano di K' intorno
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— 463 — 12) n prodotto di due a
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- 470 — dove si suppone precisame
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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(!') — 507 — 289. Equazioni di
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— 509 — se invece sta sopra xy^
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 517 — spezzate aventi gli ste
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 525 — Ora questi risultati, e
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
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— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
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— 747 — 362. Quadriche a punti
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Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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