Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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gnano polinomi contenenti le variabili x, //, e non quantità.
Con questa notazione abbreviata si raggiunge una maggior
concisione nella scrittura, in grazia alla quale, dal solo aspetto
delle formole, è facile dedurre le proprietà di posizione degli
elementi della figura studiata.
Cosi, se indichiamo con l, wi, n . . . polinomi lineari in x,
?/, e quindi con l =
0, m = 0, n = .
. . le equazioni di
più rette, potremo enunciare sotto la seguente forma gli
ultimi risultati:
a) L'equazione M -A^ fj.m = rappresenta una retta generica
del fascio determinato da / =: 0, m = : e y è la
coordinata proiettiva di quella retta, rispetto alle rette fonda-
mentali m == 0, Z =
0, ? -|- w = 0.
b) Condizione perchè tre rette / =
0, m = 0, n =
formino fascio, è che esistano tre numeri X, ^, v non tutti nulli,
e tali che il polinomio XI -j- ^^^^ -\- vn sia identicamente nullo.
e) Se le tre rette Z =
fascio, la equazione XI -\- f^m
0, w = 0, >^ = non formano
-\- vn = è atta a rappre-
sentare una qualsiasi retta del piano, purché i parametri X,
^, V siano convenientemente scelti.
d) Per applicare i risultati qui riassunti alla dimostrazione
di un teorema di geometria proiettiva, consideriamo un trian-
golo LMN^ i cui lati (rispettivamente opposti a quei vertici)
abbiano le equazioni
l = 0, m = 0, n = 0,
e siano segati da una trasversale arbitraria
r) XI -}- firn -[- vw =
in tre punti L\ M\ N'. La retta LL' congiungente il vertice
m =: 0, n = coir intersezione del lato opposto Z = e di
r, ha una equazione che deve esser combinazione lineare, sia della
equazione r) e ài l := 0, sia delle equazioni rw ^ 0, w = ;
ora a queste condizioni soddisfa la equazione fivn A^ vn = 0,
che si ottiene sottraendo dalla r) la / == moltiplicata per X.
In simil modo si conclude che alle rette V ~ LL\ m' ^ MM',
n' = NN' spettano le equazioni seguenti
V) (A,m -\- vn =iQ] m') vn -^ Xl^=0\ n') XI -\- firn ^=^ 0.