Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 646 — spigoli di un quadrilatero sghembo semplice, avente i vertici in quei punti. Al fascio determinato dalle due quadriche appartengono due coppie di piani. Una correlazione muta un fascio siffatto in un sistema dello stesso tipo ; sicché quel fascio è insieme fascio e schiera. Quali ne sono le quadriche inviluppi degeneri ? 18) Se /" =:= è r equazione di una quadrica, ed ?7 ::= 0, V = sono le equazioni di due piani, sotto la forma f -j- ÀUV = si può rappresentare ogni quadrica, due piani. che passi per le coniche intersezioni di f con quei 19) Tre quadriche contenenti una stessa conica, prese a due a due, danno come ulteriori intersezioni tre coniche, ì cui piani passano per una stessa retta. Quale corollario si ottiene, se la conica primitiva è l'assoluto? 20) L' equazione f -\- ÀU^ ^= rappresenta una quadrica tangente alla /" rr: lungo la conica, che questa quadrica ha in comune col piano C/" = 0. Al variare di À, si ottiene un fascio di quadriche, a cui appar- tiene un cono, ed un piano doppio f/^ ::= 0. Un piano generico sega il fascio lungo coniche di un fascio-schiera (n." 231, Oss.), aventi due tangenti comuni, le quali si segano nel punto, ove il piano è toccato da una quadrica del fascio ; le due tangenti sono anzi le generatrici di questa quadrica. Questo sistema di quadriche è duale di se stesso; è, nel tempo stesso, un fascio ed una schiera. I coni circoscritti alle quadriche del sistema da un punto formano un fascio-schiera di coni, che si toccano tutti lungo due generatrici, le quali appartengono alla quadrica del sistema passante per il punto. 21) Due quadriche Q', Q", le quali tocchino, rispettivamente, una terza quadrica Q lungo le coniche K', K", sì segano in due coniche, i cui piani formano un gruppo armonico coi piani ài K' e K" \ particolare : la quadrica Q sia un cono ; questione duale. (Monge, Chasles). Caso 22) I coni circoscritti ad una stessa quadrica da due punti si segano lungo due coniche. 23) Se due quadriche Q', Q" sono iscritte in uno stesso cono Q, esse sono iscritte in un secondo cono Qi (teorema duale di quello contenuto nella nota a pag. 640). Le due quadriche Q', Q" si segano lungo due coniche, i cui piani dividono armonicamente i piani delle coniche Q'Q, Q"Q, ed i piani delle coniche Q'Qi, Q"Qi- (Il caso particolare, che Q sia il cono delle direzioni assolute uscenti da un punto, conduce al risultato del n." 360 es. 25)). 24) Dualmente : due quadriche, che si seghino lungo due coniche, sono iscritte in due coni. Caso particolare, che una delle coniche sia il cerchio assoluto. 25) Dati quattro punti, esistono in generale otto quadriche, che passano per quelli, e toccano, ciascuna lungo una conica, un cono od una quadrica Q assegnata. Come si possono costruire i piani delle otto coniche ? Corne si scrive la equazione di una quadrica soddisfacente al problema?
— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9), 21) ). Caso particolare, che Q sia il cono delle direzioni tissolute uscenti da un punto (n.° 360, es. 26) ). 26) Tradurre per dualità il risultato generale precedente ; si vedrà, in particolare, che per una conica passano generalmente otto quadriche tangenti a quattro piani assegnati. Come caso più particolare, si conclude che in un tetraedro si possono iscrivere otto sfere. IV. — 27) I piani polari di un punto, rispetto alle quadriche di un fascio, formano (n.° 368) un fascio. I fasci di piani, che si ottengono al variare del punto, sono riferiti proiettivamente tra loro, quando si riguar- dino come corrispondenti i piani polari relativi ad una stessa quadrica. In particolare, i quattro piani di uno di quei fasci, che passano per i vertici del tetraedro autopolare rispetto alle quadriche del fascio, formano un doppio rapporto costante ; donde segue una proprietà notevole degli assi di quei fasci di piani, in relazione al detto tetraedro (n.° 46, es. 8) ). 28) Dualmente: i poli di un piano, rispetto alle quadriche di una schiera, formano una punteggiata sopra una retta, che sega il piano nel punto, ove esso è toccato da una quadrica della schiera. Al variare del piano varia la retta ; ma le punteggiate, che cosi si ottengono, sono tutte proiettive tra loro. Sui relativi sostegni le quattro facce del tetraedro autopolare, rispetto alle quadriche della schiera, determinano un doppio rapporto costante. 29) Le rette polari di una retta fìssa, rispetto alle quadriche di un fascio (o di una schiera), costituiscono un sistema di rette di una quadrica rigata, che passa per i vertici (o tocca le facce) del tetraedro autopolare. 30) In un fascio di quadriche vi sono generalmente tre quadriche, che toccano un dato piano (n." 368, e)) ; i punti di conlatto determinano un triangolo tale, che i lati uscenti da un vertice sono tangenti coniugate rispetto alla quadrica del fascio passante per quel vertice. 31) Dualmente: in una schiera di quadriche vi sono generalmente tre quadriche, che passano per un dato punto; i relativi piani tangenti formano un triedro tale, che gli spigoli giacenti in una faccia sono tangenti coniugate rispetto alla quadrica della schiera, che tocca quella faccia. 32) Poiché i piani tangenti a due quadriche, in un punto ad esse comune, si segano in una retta, che è tangente alla curva intersezione, il risultato precedente può enunciarsi così : « sopra una quadrica Q di una schiera le altre quadriche della schiera segano un sistema di curve tale, che per ogni punto della quadrica Q tangenti, in (|uel punto, sono coniugate rispetto a Q ». passano due curve del sistema, le cui 33) Se, in particolare, la quadrica Q è una sfera, le due curve del sistema, uscenti da un punto generico di Q, si segano ivi ortogonalmente.
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 480 — blema mostreremo tra po
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— 482 — II. Sia data una riga a
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 486 — sarà noto a priori (ca
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— 488 — angoli particolari che
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— 490 — 278. Il problema della
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— 492 — 6) Retta generica del f
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— 494 — 21) Condizioni perchè
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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497 — Parte Quarta. Geometria ana
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— 499 — e la terza coordinata {
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— 501 — Indicando i tre denomin
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— 503 — Viceversa : ogni equazi
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— 505 — 287. Condizione di para
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(!') — 507 — 289. Equazioni di
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— 509 — se invece sta sopra xy^
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— 511 — Questa rappresenta un p
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— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
Page 613 and 614: — 595 — 839. Polarità nello sp
Page 615 and 616: — 597 — Esercizi. I. — 1) Una
Page 617 and 618: — 599 — si osservi che le condi
Page 619 and 620: — 601 — 18) Assunto r asse di u
Page 621 and 622: — 603 — (n.*' 323), r ellissoid
Page 623 and 624: — 605 — La curva intersezione d
Page 625 and 626: — 607 — punto comune alle due r
Page 627 and 628: — 609 — 345. Per costruire il p
Page 629 and 630: — 611 — P', mentre il coefficie
Page 631 and 632: — 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634: — 615 — questa ipotesi sarà so
Page 635 and 636: — 617 — Due rette siffatte, in
Page 637 and 638: — 619 — quadrica in un punto R
Page 639 and 640: — 621 — una quadrica : due pian
Page 641 and 642: — 623 — esso pure alla quadrica
Page 643 and 644: — 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646: — 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648: — 629 — goli collo stesso verti
Page 649 and 650: — 631 — cano in P la quadrica,
Page 651 and 652: — 633 — Cosi continuando, vedia
Page 653 and 654: — 635 — Segue inoltre che il pr
Page 655 and 656: — 637 — Dualmente, se i sostegn
Page 657 and 658: — 639 — Esse passano tutte per
Page 659 and 660: — 641 — g) / vertici dei quattr
Page 661 and 662: — 643 — autoconiugato rispetto
Page 663: — 645 — lungo coniche, che hann
Page 667 and 668: — 649 — %• 1 (^))> o può non
Page 669 and 670: — 651 — che si riconosce essere
Page 671 and 672: — 653 — di centro, i paraboloid
Page 673 and 674: — 655 — 2^0 ) della quadrica (n
Page 675 and 676: — 657 — triangolo, insieme al c
Page 677 and 678: — 659 — Concludiamo che una qua
Page 679 and 680: — 661 — del n.° 378^ la quale
Page 681 and 682: k — 663 — Ritornando al problem
Page 683 and 684: — 665 — drangolo ; ed è autopo
Page 685 and 686: — 667 — 4) Date le equazioni di
Page 687 and 688: — 669 - a) Supposto anzitutto che
Page 689 and 690: — 671 — rappresentante un cono
Page 691 and 692: — 673 — mentre k cresce in valo
Page 693 and 694: — 675 — Il piano y =: iavece se
Page 695 and 696: — 677 — 387. Iperboloide a due
Page 697 and 698: — 679 — il piano polare di ques
Page 699 and 700: — 681 — mente che la quarta coo
Page 701 and 702: questa, colla traslazione di assi a
Page 703 and 704: — 685 — Per procurarci le equaz
Page 705 and 706: — 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
Page 707 and 708: — 689 — Se invece avessimo adop
Page 709 and 710: — 691 — Osservazione. — Abbia
Page 711 and 712: Le ultime due ci danno — 693 —
Page 713 and 714: — 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
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— 739 — 145. Concetto generale
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— 741 — 197. Intersezioni di un
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— 743 — Cap. V. Proprietà foca
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— 745 — 300. Angolo di due rett
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— 747 — 362. Quadriche a punti
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Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
show all

Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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