Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 714 — falda, ed un iperboloide a due falde Q). Donde segue che quadriche confocali dello stesso nome non si segano in punti reali, mentre si vedrebbe che quadriche confocali di nome diverso si segano lungo curve reali. Ad ogni punto P{x, y, z) dello spazio corrispondono, mediante la (9), tre valori reali k^, k^-, ^3, appartenenti agli intervalli (— 00, c^), (e-, ò^), (6^, a^), e relativi alle tre quadriche confocali che passano per il punto. Viceversa, dati tre valori reali ^i, k^, ks, appartenenti a quegli intervalli, si hanno tre quadriche confocali, che si segano in otto punti P (± x, dz y, dz z), dei quali uno solo sta, ad es., nel triedro che ha come spigoli i tre semiassi positivi. In virtù di questa corrispondenza, si assumono talora i tre numeri /ci, À:2, ^3 come coordinate di un punto P variabile nello spazio, o nel triedro suddetto. Il sistema delle coordinate ellittiche, a cui così si perviene, viene applicato utilmente in alcuno questioni di geometria, di meccanica ecc. Riprendiamo in esame le proprietà generali delle schiere di quadriche. I teoremi /"), g) del n." 369 ci condurrebbero alle coniche focali della nostra schiera, delle quali abbiamo già di- scorso. Il teorema li) (n.° 369) ci dà invece una notevolissima proprietà delle dette coniche. Si assuma infatti sopra una, K, delle coniche focali un punto P, e da esso si circoscrivano coni alle quadriche confocali; questi, tra cui si trova il cono delle direzioni assolute uscenti da P, hanno in comune, secondo il teorema li), due generatrici ed i piani tangenti lungo queste, i quali piani si segano nella tangente in P alla conica K. (1) Se le quadriche corrispondenti ai valori fci, A: 2 del parametro hanno in comune il punto («o, Va, 2o\ sussistono le relazioni ~" ^' a2 - k2~^ fe2 _ ^2 "^ c2 - /C2 dalle quali, mediante sottrazione, e soppressione del fattore non nullo k^ — k2, si ricava xq^ 1 yo^ I ^0! = 0. (a2 - "^1) (a2 — ^2) "^ (b^ — ^-i) (fi^ - ^2) (c^ — ^1) (c^ " ^a) Ora si riconosce esser questa la condizione di perpendicolarità dei piani tangenti (n.° 388) alle due quadriche in (xq, 2/0, 2 o)- Resta così dimostrata analiticamente anche la seconda parte del teorema e).
— 715 — Ora sappiamo che un cono, il quale sia bitangente al cono delle direzioni assolute uscenti dal suo vertice, è rotondo, ed ha, come asse di rotazione, la retta intersezione dei piani tangenti comuni ai due coni (n." 382). Dunque : h) / coni circoscritti alle quadriche confocali, da un punto di una conica focale, sono rotondi, ed hanno, come asse comune di rotazione, la tangente a quella conica in quel punto. Anzi i punti delle coniche focali sono i soli (n.° 369, i)), che godano della proprietà enunciata. 402. Paraboloidi confocali. — Vediamo rapidamente come queste proprietà si estendano ai paraboloidi. (1') Dato un paraboloide, ad es. ellittico, non rotondo, ^' -r ^' = 2z p q con p "> q > 0, e scrittane l'equazione tangenziale (n-" 392j (3') pu' -f- qv~ — 2w = 0, si consideri la schiera determinata da esso col cerchio assoluto. La quadrica generica della schiera ha l'equazione tangenziale (5') (p - l2 _ (;^^. _|_ 2),^- = 0, e l'equazione cartesiana (6') —^~- + --^ =2z - k. p — k ^ q — k Variando k da — x a -[- co, si ottengono dunque paraboloidi ellittici finché k
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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— 3 — IIF. Lo spazio di piani,
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— 5 — fascio, chiamando proprio
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— 7 — Segue che i punti impropr
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 15 — a') Ritornando alla figu
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— 17 — E sembra appunto che gli
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— 19 — ha dunque per corrispond
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— 23 — diversi, sono Vuno proie
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— 25 — nel piano PSA, devono se
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— 27 — due trilateri omologici
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— 29 — problema generalmente no
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— 31 — Parte Prima. Forme di pr
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— 35 — Noi possiamo far ciò se
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— 39 — 2) che ogni elemento del
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— espili ampia che chiameremo A^]
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— 47 — Col metodo da n ad n -]-
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— 49 — 11) Attribuendo ai punti
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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— 59 — la figura da un punto 8
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— 61 — Il procedimento si esten
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— 65 — (cc^y) senay senaó nel
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dove si è posto per brevità — 7
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— 79 — omologici e precisamente
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— 85 — notiamo che il punto med
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— so- sia divisa armonicamente da
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— 93 — doppio rapporto dei quat
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— 97 — ad es., Xo
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— 103 — Se un punto sopra u va
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— 107 — da u' ad u. Il punto uu
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 113 — liari {8 ed 8\ oppure s
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— 115 — u'. 1 punti M, 0, N si
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— 117 — 71. Elementi uniti di u
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— 119 — della proiettivita ABC
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— 121 — proiettività parabolic
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— 123 — A, B, C . . . della cir
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— 125 — Se nella proiettività
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— 127 — è omologico al triango
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— 129 — Supponiamo, al contrari
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— 131 — 81. Equazione deiriiivo
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— 133 — cìenti delle (4). Con
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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— 141 — La involuzione circolar
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— 145 — opposti del triangolo,
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— 147 — menti (n.** 68), od in
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— 149 — dalla determinazione do
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— 151 — distanza. Qua!' è il m
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— 153 — ed è iperbolica, parab
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 157 — Parte Seconda. Geometri
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— 159 — vertice, saranno negati
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— 161 — Proiettiamo i punti Pi,
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— 165 — ad es. sotto la forma (
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— 167 — e la medesima relazione
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— 169 — Di qua si deduce subito
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— 171 - gnano polinomi contenenti
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— 173 — 5) Risolvere i problemi
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— 175 — si può costruire una s
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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— 179 — ' sulle relazioni (a),
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— 181 — determinare. Ricordiamo
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— 183 — ed il termine noto, i r
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— 185 — questa convenzione cost
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— 187 — è espressa dall' annul
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— 189 — Pi Q, si inverta il ver
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— 191 — Osseryazìone. — La c
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— 193 — un punto (n.° 89), rif
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— 195 — torno chiuso curvilineo
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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— 199 — Ma per le (1) X = x' -^
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— 201 — Esercìzi. — 1) Come
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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— 207 — Come le coordinate omog
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— 209 — fondamentali sulla mutu
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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— 213 — di numeri, e le ^ rette
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— 215 — UN. La ipotesi è dunqu
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— 217 — H punto Z ha le coordin
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— 223 — cati per convenienti fa
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— 225 — Esercizi, — 1) Assunt
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— 229 — I.'' Definire e studiar
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— 233 — curva, e si riguarderan
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— 235 — trica a cui obbedisce u
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— 239 — nazione di A:; e la ope
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% — 245 — continuità, si consi
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— 259 — superiori o inferiori.
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— 261 - punti B, B' di ordinate y
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e fatto z - 263 —
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— 265 — delle note disuguaglian
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— 269 — \si OA perpendicolare a
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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— 273 — cerchio mobile in un de
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i — 275 — 6) Un' altra generazi
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I — 277 — 7t^ n\ proiettando i
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— 279 — proiettino da S, S' uno
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— 281 — lora A', B', C, D' sono
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— 285 — e viceversa^ ed ogni re
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I — 287 — (dove Aik ^ il comple
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— 289 — * Osservazione II. —
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— 293 — finito dei due piani si
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— 295 — se vi è un terzo punto
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l — 299 — Se poi di una retta a
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i — 301 — *' ed j, generalmente
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i — 303 — e) Se finalmente il c
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l — 305 — trova che le coordina
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i — 307 — reale), q^ = q^, giac
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i — 309 — * 185. Uguaglianza fr
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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— 315 — tutti per uno stesso pu
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 323 — dremo nella teoria dell
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 327 — 7) Sopra ogni retta di
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— 329 — 3) Introdotta sul princ
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— 331 — curva x^ -\- y'^ = 0; c
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— 333 — La prima definisce il p
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— 335 — nel campo proiettivo ;
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 339 — 1) Si formino le deriva
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— 341 — l'equazione della tange
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(7) A = — 343 — l'altro dalla r
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— 345 — 304. Metodo delle polar
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— 347 — F (u^ V, w), come la co
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— 349 b) Le intersezioni di una c
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— 351 — e sega pure il secondo
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— 353 — dai quali si conducano
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 359 — a primo grado, si ricon
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— 361 — in punti coincidenti da
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— 363 — gli ortocentri dei quat
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— 365 — 32) Dal teorema dell' e
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 369 — Queste proposizioni, di
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 379 — una conica è iscritta
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— 381 — reale e distinta da que
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— 383 — tre coniche degenen (a
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— 385 — Se ora si suppone che d
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— 389 — 7) Determinata una coni
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— 391 — Im- sicché ± Vx^ -\-
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— 393 — è tangente a K) i}). (
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— 395 — dove À, fi. V sono par
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— 397 — Partendo dall' equazion
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— 399 — La costruzione degli as
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— 401 — La prima proposizione s
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— 403 — gonali^ proponiamoci di
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— 405 — 7) Dati in grandezza e
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— 407 — 25) Ad una schiera di c
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— 409 — dovrà la (d) mancare d
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— 411 — II) Se nella (2) faccia
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— 413 — 244. Alcune formole rel
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— 415 — dove p è una costante
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— 417 — nelle (a), basterà far
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— 419 — caso. Ma si può chiede
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— 421 — Un terzo invariante si
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— 427 — 252. Teoremi di Apollon
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— 429 — 3) Scrivere l' equazion
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— 431 — 17) Dati sulla conica A
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— 433 — diagonale PQ; queste pe
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— 435 — Capitolo V. Proprietà
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— 437 — la involuzione dunque
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— 439 — Ciò premesso, assumiam
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— 441 — Per enunciare il risult
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— 443 — è indipendente dalla c
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 447 — lori costanti, coordina
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— 449 — rette formanti fascio c
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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— 457 — il piano di K' intorno
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— 472 — sistema di coordinate p
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— 482 — II. Sia data una riga a
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 486 — sarà noto a priori (ca
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— 488 — angoli particolari che
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— 492 — 6) Retta generica del f
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— 494 — 21) Condizioni perchè
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 499 — e la terza coordinata {
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— 509 — se invece sta sopra xy^
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— 511 — Questa rappresenta un p
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
Page 681 and 682: k — 663 — Ritornando al problem
Page 683 and 684: — 665 — drangolo ; ed è autopo
Page 685 and 686: — 667 — 4) Date le equazioni di
Page 687 and 688: — 669 - a) Supposto anzitutto che
Page 689 and 690: — 671 — rappresentante un cono
Page 691 and 692: — 673 — mentre k cresce in valo
Page 693 and 694: — 675 — Il piano y =: iavece se
Page 695 and 696: — 677 — 387. Iperboloide a due
Page 697 and 698: — 679 — il piano polare di ques
Page 699 and 700: — 681 — mente che la quarta coo
Page 701 and 702: questa, colla traslazione di assi a
Page 703 and 704: — 685 — Per procurarci le equaz
Page 705 and 706: — 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
Page 707 and 708: — 689 — Se invece avessimo adop
Page 709 and 710: — 691 — Osservazione. — Abbia
Page 711 and 712: Le ultime due ci danno — 693 —
Page 713 and 714: — 695 — sicché il paraboloide
Page 715 and 716: — 697 — Ora questo teorema può
Page 717 and 718: — 699 — 2) Ogni iperboloide rif
Page 719 and 720: — 701 — dri siffatti» (cfr. n.
Page 721 and 722: — 703 — perfide. Ora, se -ST è
Page 723 and 724: — 705 — quattro fasci impropri
Page 725 and 726: — 707 — centro dell'ellissoide.
Page 727 and 728: — 709 — come risulta dall' Oss.
Page 729 and 730: — 711 — sopra una stessa retta,
Page 731: — 713 — cono dette direzioni as
Page 735 and 736: — 717 — una quadrica inviluppo
Page 737 and 738: — 719 — si trovano distribuiti
Page 739 and 740: — 721 — per la direttrice /'. l
Page 741: — 723 — due punti fissi della i
Page 744 and 745: — 726 — 6) Condizione, perchè
Page 746 and 747: (22) A (23) — 728 — 22) Area de
Page 748 and 749: — 730 — 35) Condizioni, perchè
Page 751 and 752: INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
Page 753 and 754: — 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756: — 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758: — 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760: — 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762: — 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764: — 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766: — 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773: Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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