Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 378 — Caso particolare metrico del problema di sinistra (supponendo la retta all'infinito) è il seguente: costruire una parabola che pasd per quattro punti assegnati. 225. Corollari del teorema di Desargues. — La dimostrazione del teorema di Desargues, e le conseguenze che ne abbiamo dedotte, continuano a sussistere se il vertice C del quadrangolo viene a coincidere con A, purché per retta ^.0 si intenda la tangente alla conica in A] si può inoltre far coincidere D con i?, intendendo per retta BD lo, tangente in B. In quest'ultimo caso, invece di infinite coniche circoscritte ad un quadrangolo, avremo infinite coniche tangenti a due rette fìsse AS,B8 in due punti fissi A, B] e la involuzione segata da quelle sopra una trasversale r, sarà determinata dalla coppia NN\ traccia delle tangenti fisse A 8^ B8 (costituenti una prima conica degenere), e dal punto doppio M = M\ traccia della retta AB^^ CD (la quale, contata due volte, dà una seconda conica degenere). Abbiamo cosi il teorema di sinistra: Le infinite coniche che toccano due lati di un triangolo nei vertici situati sopra il terzo lato, segano sopra una trasversale coppie di una involuzione^ cui appartengono la coppia segata dai primi due lati del triangolo^ ed un punto dopjno segato dal terzo lato. Le coppie di tangenti con- dotte da un punto alle infinite coniche che toccano due lati di un triangolo nei vertici situati sul terzo lato^ formano una involuzione, cui appartengono la coppia di rette proiettanti quei due vertici, ed una retta doppia pro- iettante il terzo vertice. Fra le coniche nominate nel teorema di sinistra ve n' è una sola ( oltre alla retta doppia AB) che tocchi la trasversale r. Il pun- to di contatto X, doppio per la involuzione, è coniugato armonico dell'altro punto doppio M, rispetto alla coppia 2ViV'; esso dunque si costruisce tirando le rette AN', BN, e congiungendone la intersezione ad 8 mediante la retta 8X. Segue di qua che, se
— 379 — una conica è iscritta nel triangolo SNN', le congiungenti i vertici coi punti di contatto dei lati opposti concorrono in un punto. Con ciò rimane giustificato l'ultimo corollario del teorema di Brianchon (insieme al duale) (n.° 220), che non avevamo sinora dimostrato. 226. Intersezioni di due coniche. — I risultati degli ultimi numeri (n.' 223-225) possono confermarsi ed estendersi per via analitica. A tal fine conviene premettere alcune considerazioni sul sistema di due coniche. Date le equazioni di due coniche (1.) f(x,y)^anx''-\-2ai.xy -f «22y7^ + 2ai3:c4-2a,3?/4'«33 =^ 0, proponiamoci di determinare i punti ad esse comuni. Dovremo risolvere il sistema delle due equazioni nello incognite a;, y] perciò immaginiamole ordinate rispetto ad una delle incognite, ad es. rispetto ad y, ed eliminiamo // tra quelle. Otterremo una equazione risultante contenente la sola .r, la quale vi comparirà a grado 2 • 2 = 4, in virtù del teorema di Bézout (^). L' equazione risolta fornirà dunque quattro valori per lax; siano x^, Xo, x.^, x^. Sostituendo nelle (1), (2), al posto di X, uno di questi valori, ad es. a?,, si ottengono due equazioni quadratiche nella sola v/, le quali hanno una radice comune y^ (e in generale una sola), che si determina razionalmente (ad es. con una operazione di massimo comun divisore tra i due primi membri). Cosi si sarà ottenuta una prima intersezione (xi,yi) delle due coniche; e similmente si troveranno altre tre intersezioni {x.2, y.i), (xs^ ^3), (a;4, y^). Concludiamo che due coniche si segano in quattro punti] a meno che le coniche non coinci- dano, o non si spezzino in due coppie di rette aventi una retta comune. (^) In generale, quel teoroma dice che, se le due equazioni primitive sono dei gradi w, n, l'equazione risultante sarà di grado mn; donde segue che due curve algebriche di ordini m, n, hanno mn intersezioni. V. a questo proposito Capelli, Istituzioni di Analisi algebrica (1902), pag. 573, dove il caso che a noi interessa è trattato in tutti i particolari.
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 115 — u'. 1 punti M, 0, N si
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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e fatto z - 263 —
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- e\c -j- Q cos f) = —
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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