Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 6 — quello costituito dai piani che sono paralleli ad uno stesso piano. E potremo dire ormai che due piani dello spazio determinano sempre un fascio, proprio od improprio, che li contiene. I piani di un fascio proprio hanno in comune una retta (asse del fascio), mentre quelli di un fascio improprio hanno in comune una giacitura. Sostituendo alla locuzione giacitura quella, non ancora adoperata, di retta impropria o alV infinito, potremo dire che i piani di un fascio proprio o improprio hanno sempre in comune una retta (propria, cioè una retta intuitiva, nel 1°. caso, impropria nel 2°.) che chiameremo asse del fascio; in particolare due piani dello spazio hanno sempre una retta comune, propria se si segano (nel senso della Geo- metria elementare), impropìzia se sono paralleli. Una retta all' infinito è individuata quando si dia un piano che la contenga, che abbia la giacitura definita dalla retta. Cowgiungere un punto (proprio) B colla, retta all'infinito a^ di un dato piano a, vuol dire condurre per B il piano parallelo ad a; il problema ha sempre una soluzione come quello di congiungere, mediante un piano, il punto B con una retta propria a, che non passi per B. 4. Relazione tra elementi impropri. — Mettiamo ora in connessione i punti e le rette improprie. Noi diciamo che uti punto improprio JL^^ appartiene ad una retta impropria, r^,, quando, tracciata una retta propria che definisca A^. ed un piano che definisca r-p, quella retta è parallela a questo piano o vi giace per intero. Segue dalla definizione che una retta propria ed un piano, che non si appartengano, hanno sempre un punto comune, proprio se i due elementi si segano nel senso della Geometria elementare, improprio se sono paralleli. Per verificare se un punto improprio A^ appartiene ad una retta impropria r^, basta congiungere un punto ausiliare proprio P ad Ay. q -àà r^ mediante una retta a ed un piano jp, e verificar poi se a appartiene a q. Valendosi di questa osservazione si giustificano subito le due proposizioni seguenti: Due punti impropri individuano una retta impropria che appartiene a quelli (la loro congiungente). Due rette improprie individuano un punto improprio che appartiene a quelle (la loro intersezione).
— 7 — Segue che i punti impropri e le rette improprie si compor- tano come i punti e le rette di un piano. Sorge quindi l'idea di chiamare piano improprio o all'infinito^ l'insieme dei punti impropri e delle rette improprie dello spazio. Il piano improprio è unico; ad e.sso appartengono tutti i jìunti impropri e tutte le rette improprie. Ogni retta propria ha con esso un punto comune, il punto all'infinito della retta; ogni piano proprio ha con esso una retta comune, la retta all'infinito del piano proprio (^). Abbiamo introdotto così accanto agli elementi propri, o in- tuitivi, dello spazio, gli elementi convenzionali che abbiamo detto impropri (infiniti punti o direzioni, infinite rette o giaciture, ed un piano, che è l' insieme delle direzioni e giaciture ), ed abbiamo definito la relazione di appartenersi di due elementi propri od impropri, di nome diverso. Se ora torniamo alle definizioni di forme geometriche fondamentali (n.*' 2), possiamo attribuire a quelle la massima generalità, coli' ammettere che gli elementi o i sostegni, di cui ivi si parla, possano essere indifferentemente propri od impropri. Lasciamo al lettore la cura di enumerare tutti i casi che cosi si presentano, e di esaminare volta per volta se la forma possegga elementi impropri. Solo, in via di esempio, faremo notare che accanto al fascio proprio di rette avente il centro e il piano proprio, ed al fascio improprio di rette avente centro improprio e piano proprio, va considerato inoltre il fascio di rette improprie^ che ha improprio tanto il centro quanto il piano. Ed accanto alla stella propria di rette e di piani, avente il centro proprio, vanno considerate la stella impropria di rette, costituita da tutte le rette dello spazio parallele ad una retta data, e la stella ivipropria di piani, costituita da tutti i piani dello spazio paralleli a una retta data; il centro della stella impropria è un punto improprio. Osserrazione. — Sebbene nel fissare le convenzioni relative agli elementi impropri si sia fatto uso tacitamente del postulato V di Euclide, il quale afferma in sostanza che sopra un piano e per un punto si può condurre una sola retta la quale non incontri una retta assegnata in quel piano, fu osservato tuttavia (dal Klein) che la Geometria proiettiva è indipendente da quel postulato, e vale anche quando il postulato stesso venga (*) I concetti di punto e retta all' infinito si trovano già in Desargues (1639); mentre il piano all'infinito fu introdotto da Poncelet (1822).
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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