Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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17) Due piani simili possono sempre situarsi in tal posizione da di-
venire omotetici.
18) Due piani affini non sempre possono sovrapporsi in modo da dar
luogo ad una affinità omologica; ciò è possibile soltanto (ed in infiniti
modi) se il rapporto di similitudine relativo a due convenienti dire2rioni,
corrispondentisi nei due piani, vale 1. Ora, date le equazioni dell'affinità
x' = mx. y' = ny, dove si può supporre xij ^= x y = -^,
si esa-
mini come vari quel rapporto mentre rette corrispondenti ruotano intorno
alle origini; si dimostri clie vi sono due direzioni ortogonali a cui corri-
sponde un valore massimo o minimo di quel rapporto, e che esistono pun-
teggiate uguali nei due piani, quando dei due numeri m, n uno sia (in
valore assoluto) ^ 1 e l'altro ^ 1.
19) La condizione del precedente esercizio è sempre soddisfatta quando
l'affinità tra i due piani sia equivalente. Dunque: due piani affini equiva-
lenti possono sempre sovrapporsi in modo da dar luogo ad una affinità
omologica, che sarà (es. 13)) o una simmetria (generalmente) obliqua, od
una affinità omologica speciale. L'affinità equivalente fra due piani non
differisce dalla simmetria obliqua rispetto ad una retta, se non per la mutua
posizione dei due piani.
IV. — 20) Se due figure piane sono omologiche ad una terza figura ri-
spetto ad uno stesso asse (o centro), esse sono pure omologiche fra loro rispetto
a questo asse (o centro); ed i tre centri (o assi) di omologia appartengono
ad una stessa retta (o punto), a meno che non coincidano. La prima parte
dell'enunciato può presentarsi cosi: due omologie aventi lo stesso asse (o
centro) danno per prodotto una omologia avente quell'asse (o centro).
Quale relazione passa fra le caratteristiche delle tre omologie? In particolare,
se le due prime omologie sono speciali, anche il prodotto sarà una omolo-
gia speciale; come si enuncia questo coi-oUario se l'asse delle omologie spe-
ciali è all'infinito?
21) Due cerchi non concentrici di un piano si corrispondono in due
diverse omotetie, i cui centri diconsi centri di similitudine dei due cerchi,
e precisamente centro di similitudine interno od esterno, secondo la posizione
che occupa rispetto ai centri dei cerchi stessi (cfr. n.° 160, es. 14)).
22) Tre cerchi presi a due a due determinano, in generale, tre coppie
di centri di similitudine; i tre centri esterni sono allineati, e due centri
interni sono allineati col centro esterno relativo alla rimanente coppia dì
cerchi (es. 20); cfr. n.° 160, es. 15)).
23) Se ABC è un triangolo, il prodotto di una omologia avente il
centro A e l'asse BC, per una omologia avente il centi-o B e l'asse CA,
è una collineazione avente il triangolo ABC come unito; ma se le due
omologie hanno la stessa caratteristica k, il prodotto è una omologia
di centro C, asse AB e caratteristica -j- . Vale
dunque il teorema : il pro-
dotto di tre omologie aventi ordinatamente come centri i vertici di un
triangolo, come assi i lati opposti, ed aventi la stessa caratteristica, è