Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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^ 308 ^ dove a e h sono costanti diverse tra loro e non nulle; - è la caratteristica (n.° 180). Se invece a^^ = a ,3 (e quindi q^ =. q^ = ?3))il centro cade sull'asse; assunto questo come retta ?/ = (e posto dunque «3, = 0, «33 = a II), le equazioni della omologia speciale si presentano sotto la forma (e') Qx' = ax, qy' = ay, qz' z=z hy -\- az, dove a e ò sono costanti non nulle. * 184. Costruzione dei punti uniti di una collineazione fra piani sovrapposti. — La costruzione dei punti uniti di una collineazione generale fra piani sovrapposti, dipendendo da una equazione di terzo grado, generalmente irriducibile, non può eseguirsi col compasso e colla riga (cfr. Appendice). Essa porta a determinare le residue intersezioni di due curve del secondo ordine aventi un punto noto comune. Infatti la collineazione che muta il piano tv nel piano n', faccia corrispondere ad un punto arbitrario P di n il punto P', ed a P' (considerato in ti) il punto P". Allora il fascio di rette di centro P sarà riferito proiettivamente al fascio di centro P', e questo al fascio di centro P". I luoghi delle intersezioni di rette corrispondenti nelle due coppie di fasci P, P' e P', P" saranno due curve del secondo ordine passanti, la prima per P e P', la seconda per P' e P" (n.*' 148). Le due curve, all' infuori di P', hanno tre intersezioni, come si vedrà in seguito. Sia IT una di queste, e sia U' il punto (di Ti') corrispondente ad U nella nostra collineazione. Poiché U appartiene alle due rette PU, P'U, dovrà U' appar- tenere alle rette che a quelle corrispondono cioè a P'U e P"JJ, dovrà quindi coincidere con TI. Dunque TI sarà un punto unito. Quando fosse già noto un punto unito U\ , la determinazione degli altri elementi uniti si potrebbe eseguire con mezzi elemen- tari. Infatti la collineazione fa corrispondere ad ogni retta di ti uscente da U]., una retta di tv' uscente dallo stesso punto; viene cosi a stabilirsi una proiettivita fra due fasci di centro Z7i, di cui le rette unite u^ e u^ sono pure unite per la collineazione. La terza retta unita u^ (associata al punto unito TJi) si dimostra poi esser il luogo del centro di prospettiva di tutte le coppie di punteggiate proiettive, anzi prospettive, che hanno per sostegni due rette uscenti da Z7i, corrispondentisi nella collineazione.
i — 309 — * 185. Uguaglianza fra piani sovrapposti. — Per fare una applicazione di vari risultati precedenti, cerchiamo gli elementi uniti in una uguaglianza tra piani sovrapposti. Sappiamo già (n.° 174, Oss.) che in una uguaglianza (o similitudine) fra due piani ji g Ji', i punti ciclici dell' un piano corrispondono ai punti ciclici dell' altro. Ma se i due piani sono sovrapposti, può darsi che ciascun punto ciclico corrisponda a sé stesso, o che ciascuno corrisponda all'altro. Nel primo caso la uguaglianza (o similitudine) dicesi diretta; le punteggiate sovrap- poste all'infinito sono direttamente uguali (n.° 89), e direttamente uguali sono fasci corrispondenti nei due piani. N'el secondo caso la uguaglianza (o similitudine) dicesi inversa; le punteggiate al- l'infinito sono inversamente uguali, ed inversamente uguali sono fasci corrispondenti. Limitandoci alla ipotesi della uguaglianza, nel!' uno e nell' altro caso segmenti corrispondenti sono uguali. a) Nella uguaglianza diretta, oltre ai punti ciclici, immaginari, che sono uniti, vi sarà almeno un punto unito reale U (n." 183). Se Z7 è proprio, ed ABC. . . , A'B'C . . . sono figure corrispondenti dei due piani tt, ti', i due fasci corrispondenti U(ABC . . .), U(A'B'C' . . . ) risulteranno direttamente uguali, e si avrà pure UÀ = UÀ', ecc. Ma allora, facendo ruotare il piano n intorno ad U di un angolo conveniente, si potrà portare ogni retta del primo fascio a coincidere colla retta corrispondente del secondo fascio, in guisa inoltre che A venga a coincidere con A'. Dopo questa operazione il piano ji ruotato, ed il piano ti' hanno come unite tutte le rette per C7, tutti i punti impropri, ed inoltre il punto A; dunque hanno unito ogni elemento. Se invece l'uguaglianza diretta fra ti e ti' non possiede punti uniti propri, il punto reale U sopra nominato sarà impro- prio, e la retta all' infinito, contenendo tre punti uniti, avrà ogni punto unito. L'uguaglianza sarà una omologia col centro e r asse all' infinito, vale a dire una equipollenza (n.° 182, e) ). Griungiamo cosi al teorema: >S'e due piani sovrapposti (o due figure in uno stesso piano) sono direttamente uguali, si può portare V uno a coincidere punto per punto colf altro mediante una rotazione intorno ad un punto determinato, o mediante una traslazione in una determinata direzione.
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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