Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 608 — Consideriamo ora un secondo caso. Si tratti di un cono, o di un cilindro, posato sopra un piano, che ne contenga una generatrice ; sia, ad es., il cilindro circolare retto y'^ -\~ z^ — 2z = 0, clie ha per base, sul piano yz, il cerchio di centro (0, 0, 1) e di raggio 1. Questo cilindro sega il piano xy lungo la conica y^ =z 0, che si riduce all' asse a?, contato due volte. Il cilindro tocca dunque il piano xy in ogni punto dell'asse x, secondo la nostra dicitura, ed anche secondo il linguaggio ordinario ; ogni altra retta t del piano xy tocca il cilindro in un punto dell' asse x. Meno facile a concepirsi è il terzo caso, che si presenta per le quadriche convesso-concave, le quali hanno in ogni loro punto la forma di una sella. Tali sono, ad es., l' iperboloide rotondo ad una falda (n.° 328), gene- rato da una iperbole, rotante intorno all' asse non trasverso, od il paraboloide iperbolico x^ — y'^ = z, ài cui parleremo in seguito. Consideriamo, ad es., quest'ultima superfìcie. Essa è segata dal piano xy lungo la conica te 2 — y^ = 0, composta delle due rette reali x zh y =^ uscenti dall'ori- gine. Il piano xy tocca dunque la superfìcie, secondo la defìnizione da noi data ; ed effettivamente una retta generica del piano xy uscente da 0, retta di equazioni y = kx, z =^ 0, tocca la superfìcie in 0, come subito si verifica. In real- tà, il piano xy spezza la superfìcie in due parti, di cui una ( x ^ y , z > 0) sta al disopra del piano xy, V altra {x
— 609 — 345. Per costruire il piano n tangente ad una quadrica in un punto dato P, basta conoscere, secondo 1' ultimo teorema del n.° precedente, due rette t^ t' tangenti alla quadrica in P. Queste si ottengono, segando la quadrica con due piani arbitrari passanti per P, e conducendo le tangenti t^ t' in P alle coniche sezioni; sarà poi ti ^ tt' il piano tangente richiesto. La costruzione di ti, a dir vero, non esclude che possano esistere altri piani tangenti alla quadrica in P, oltre tt. Ciò accadrebbe, se fuori del fascio (P, n) esistesse almeno una ulte- riore retta u tangente alla quadrica di P. Ma allora ogni fascio determinato dalla n con una retta generica del fascio (P, Ti) conterrebbe due, e quindi (n.*' SM) infinite rette tangenti alla quadrica in P; ogni retta della stella P sarebbe ivi tangente alla quadrica, o vi apparterrebbe ; ogni piano per P toccherebbe ivi la quadrica, e la segherebbe (n." 344) lungo due rette (reali o immaginarie) uscenti da P. La quadrica risulte- rebbe dunque costituita da infinite rette uscenti da P, sarebbe un cono di secondo ordine di vertice P, formato dalle rette proiettanti da P una conica (reale, o immaginaria, o spezzata in rotte). Siamo quindi autorizzati a concludere : Una quadrica ha, in ogni suo punto, un unico irìano tangente, il quale contiene tutte le rette tangenti in quel punto alla superficie ; fa eccezione solo il caso che la quadrica sia un cotto, ed il punto ne sia il vertice. In realtà, ogni piano condotto per il vertice V di un cono, segando la superficie in due rette uscenti da V, va considerato, secondo la nostra definizione, come piano tangente al cono nel vertice ; badiamo però, che, d' ordinario, si dice tangente ad un cono un piano, che passi per il vertice, ed abbia in comune col cono due generatrici coincidenti (piano proiettante dal vertice una retta tangente ad una conica sezione). Un siffatto piano tocca il cono in ogni punto della generatrice, colla quale le due coincidono (n.'' 344). 346. I risultati precedenti ci dimostrano la presenza di rette reali, od immaginarie, sopra una quadrica. Studieremo in un successivo capitolo la distribuzione di queste rette. Per ora limitiamoci a notare che ogni piano, condotto per una retta di 39
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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— 3 — IIF. Lo spazio di piani,
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— 5 — fascio, chiamando proprio
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 15 — a') Ritornando alla figu
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— 17 — E sembra appunto che gli
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— 23 — diversi, sono Vuno proie
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— 25 — nel piano PSA, devono se
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— 27 — due trilateri omologici
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— 29 — problema generalmente no
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— 35 — Noi possiamo far ciò se
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— espili ampia che chiameremo A^]
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— 47 — Col metodo da n ad n -]-
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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— 65 — (cc^y) senay senaó nel
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dove si è posto per brevità — 7
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— 79 — omologici e precisamente
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— 85 — notiamo che il punto med
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— so- sia divisa armonicamente da
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 115 — u'. 1 punti M, 0, N si
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— 117 — 71. Elementi uniti di u
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— 121 — proiettività parabolic
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— 123 — A, B, C . . . della cir
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— 125 — Se nella proiettività
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— 127 — è omologico al triango
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— 129 — Supponiamo, al contrari
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— 131 — 81. Equazione deiriiivo
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— 133 — cìenti delle (4). Con
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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— 141 — La involuzione circolar
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— 145 — opposti del triangolo,
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— 147 — menti (n.** 68), od in
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— 149 — dalla determinazione do
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— 151 — distanza. Qua!' è il m
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— 153 — ed è iperbolica, parab
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 157 — Parte Seconda. Geometri
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— 159 — vertice, saranno negati
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— 161 — Proiettiamo i punti Pi,
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— 165 — ad es. sotto la forma (
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— 167 — e la medesima relazione
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— 169 — Di qua si deduce subito
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— 171 - gnano polinomi contenenti
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— 173 — 5) Risolvere i problemi
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— 175 — si può costruire una s
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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— 179 — ' sulle relazioni (a),
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— 181 — determinare. Ricordiamo
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— 183 — ed il termine noto, i r
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— 185 — questa convenzione cost
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— 187 — è espressa dall' annul
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— 189 — Pi Q, si inverta il ver
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— 191 — Osseryazìone. — La c
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— 193 — un punto (n.° 89), rif
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— 195 — torno chiuso curvilineo
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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— 199 — Ma per le (1) X = x' -^
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— 201 — Esercìzi. — 1) Come
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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— 207 — Come le coordinate omog
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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— 229 — I.'' Definire e studiar
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— 233 — curva, e si riguarderan
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— 235 — trica a cui obbedisce u
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— 239 — nazione di A:; e la ope
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% — 245 — continuità, si consi
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— 259 — superiori o inferiori.
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— 261 - punti B, B' di ordinate y
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e fatto z - 263 —
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— 265 — delle note disuguaglian
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— 269 — \si OA perpendicolare a
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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i — 275 — 6) Un' altra generazi
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I — 277 — 7t^ n\ proiettando i
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— 279 — proiettino da S, S' uno
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— 285 — e viceversa^ ed ogni re
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I — 287 — (dove Aik ^ il comple
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— 295 — se vi è un terzo punto
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l — 299 — Se poi di una retta a
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i — 301 — *' ed j, generalmente
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i — 303 — e) Se finalmente il c
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l — 305 — trova che le coordina
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i — 307 — reale), q^ = q^, giac
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i — 309 — * 185. Uguaglianza fr
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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— 315 — tutti per uno stesso pu
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 323 — dremo nella teoria dell
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 327 — 7) Sopra ogni retta di
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— 329 — 3) Introdotta sul princ
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— 331 — curva x^ -\- y'^ = 0; c
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— 333 — La prima definisce il p
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 339 — 1) Si formino le deriva
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— 341 — l'equazione della tange
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— 345 — 304. Metodo delle polar
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— 347 — F (u^ V, w), come la co
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— 349 b) Le intersezioni di una c
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— 351 — e sega pure il secondo
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— 353 — dai quali si conducano
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 359 — a primo grado, si ricon
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— 361 — in punti coincidenti da
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— 363 — gli ortocentri dei quat
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— 365 — 32) Dal teorema dell' e
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 369 — Queste proposizioni, di
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 379 — una conica è iscritta
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— 381 — reale e distinta da que
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— 383 — tre coniche degenen (a
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— 385 — Se ora si suppone che d
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— 387 — colare alla tangente),
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— 389 — 7) Determinata una coni
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— 391 — Im- sicché ± Vx^ -\-
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— 393 — è tangente a K) i}). (
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— 395 — dove À, fi. V sono par
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— 397 — Partendo dall' equazion
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— 399 — La costruzione degli as
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— 401 — La prima proposizione s
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— 403 — gonali^ proponiamoci di
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— 405 — 7) Dati in grandezza e
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— 409 — dovrà la (d) mancare d
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— 411 — II) Se nella (2) faccia
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— 415 — dove p è una costante
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— 417 — nelle (a), basterà far
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— 419 — caso. Ma si può chiede
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— 421 — Un terzo invariante si
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— 425 — nelle quali le incognit
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— 427 — 252. Teoremi di Apollon
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— 429 — 3) Scrivere l' equazion
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— 431 — 17) Dati sulla conica A
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— 433 — diagonale PQ; queste pe
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— 435 — Capitolo V. Proprietà
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— 437 — la involuzione dunque
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— 439 — Ciò premesso, assumiam
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— 441 — Per enunciare il risult
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— 443 — è indipendente dalla c
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 447 — lori costanti, coordina
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— 449 — rette formanti fascio c
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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— 455 — Al contrario, le propri
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— 457 — il piano di K' intorno
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- 470 — dove si suppone precisame
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— 472 — sistema di coordinate p
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— 482 — II. Sia data una riga a
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 486 — sarà noto a priori (ca
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— 490 — 278. Il problema della
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— 492 — 6) Retta generica del f
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— 494 — 21) Condizioni perchè
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 509 — se invece sta sopra xy^
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— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
Page 541 and 542:
— 523 — Per calcolare il seno d
Page 543 and 544:
— 525 — Ora questi risultati, e
Page 545 and 546:
— 527 — Similmente si vede che
Page 547 and 548:
— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554:
— 535 — di geometria elementare
Page 555 and 556:
— 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558:
— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564:
— 545 — togliere, introducendo
Page 565 and 566:
— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
Page 569 and 570:
— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
Page 573 and 574:
— 555 — dove i k l m B una qual
Page 575 and 576: — 557 — Per costruire un punto
Page 577 and 578: — 559 — che si possa dedurre co
Page 579 and 580: — 561 — Il teorema si dimostra
Page 581 and 582: — 563 — come piano XY di un nuo
Page 583 and 584: — 565 — II. — 10) Trovare 1'
Page 585 and 586: — 667 — essere tutte nulle). Al
Page 587 and 588: — 569 — D' altra parte è spess
Page 589 and 590: X — a
Page 591 and 592: — 573 — Se il vertice coincide
Page 593 and 594: — ; 576 — equidistanti dal punt
Page 595 and 596: — 577 — essi (n.° 312). Tra gl
Page 597 and 598: — 579 — dello spazio mediante u
Page 599 and 600: — 581 — quel modo, pur di scegl
Page 601 and 602: -^ 583 — glianze (1). Si conclude
Page 603 and 604: — 585 — una posizione assunta d
Page 605 and 606: — 587 — uniti, ed i cui spigoli
Page 607 and 608: — 589 — piani corrispondenti, s
Page 609 and 610: — 591 — Finalmente se, dato un
Page 611 and 612: ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
Page 613 and 614: — 595 — 839. Polarità nello sp
Page 615 and 616: — 597 — Esercizi. I. — 1) Una
Page 617 and 618: — 599 — si osservi che le condi
Page 619 and 620: — 601 — 18) Assunto r asse di u
Page 621 and 622: — 603 — (n.*' 323), r ellissoid
Page 623 and 624: — 605 — La curva intersezione d
Page 625: — 607 — punto comune alle due r
Page 629 and 630: — 611 — P', mentre il coefficie
Page 631 and 632: — 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634: — 615 — questa ipotesi sarà so
Page 635 and 636: — 617 — Due rette siffatte, in
Page 637 and 638: — 619 — quadrica in un punto R
Page 639 and 640: — 621 — una quadrica : due pian
Page 641 and 642: — 623 — esso pure alla quadrica
Page 643 and 644: — 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646: — 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648: — 629 — goli collo stesso verti
Page 649 and 650: — 631 — cano in P la quadrica,
Page 651 and 652: — 633 — Cosi continuando, vedia
Page 653 and 654: — 635 — Segue inoltre che il pr
Page 655 and 656: — 637 — Dualmente, se i sostegn
Page 657 and 658: — 639 — Esse passano tutte per
Page 659 and 660: — 641 — g) / vertici dei quattr
Page 661 and 662: — 643 — autoconiugato rispetto
Page 663 and 664: — 645 — lungo coniche, che hann
Page 665 and 666: — 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
Page 667 and 668: — 649 — %• 1 (^))> o può non
Page 669 and 670: — 651 — che si riconosce essere
Page 671 and 672: — 653 — di centro, i paraboloid
Page 673 and 674: — 655 — 2^0 ) della quadrica (n
Page 675 and 676: — 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
Page 741:
— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
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— 741 — 197. Intersezioni di un
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— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
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— 747 — 362. Quadriche a punti
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Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
show all

Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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