Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 304 — Se 37, y, z sono le coordinate di un "punto unito nella collineazione, noi potremo nelle (1), al posto di x\ y', 0', scrivere X, 2/, z. Con ciò, portando tutti i termini in uno stesso membro, le (1) divengono ( («n — q)x + «122/ 4- a^^z = 0, (2) < «21^ + («22 — Q)y + ^23^ = 0, «3,37 4- £^32 2/ + («33 — q)z =Z 0. ( Si tratta di ricavare x, y, z (o meglio, i rapporti ^^ , -j~) dalle equazioni (2), che contengono inoltre la incognita ausi- liare Q. Cominciamo a calcolare quest'ultima, osservando che, se esiste un punto unito, le (2) devono coesistere per valori non tutti nulli di x, y, z (coordinate del punto), e quindi deve aversi , e fornisce tre radici (4) (>i, Q21 ?3- Sostituendo nelle (2), al posto di ^, uno dei valori trovati, ad es. ()i, una fra le (2) diviene conseguenza delle rimanenti due, per l'annullarsi del determinante (3); e queste due (siano, per fissar le idee, le due prime), risolte rispetto ad a?, ^, z, forni- scono le coordinate richieste di un punto unito: (5) Xi : ^1 : 01 = Q 1 ^2i «o. «11 — Q^ «01 li — Qi "'12 ^22 — Ql Sostituendo poi, al posto di q^, successivamente q^ ^ Qs> le (5) daranno le coordinate (x^^ y^, ^2) ® (^3' Vs^ ^3) ^^ altri due punti uniti. Si conclude: Una coUineazione fra due piani sovrapposti ha, in generale^ tre punti uniti, e (per dualità) tre rette unite. Del resto la determinazione delle rette unite si potrebbe ricavare dalle relazioni (4) stabilite al n.° 171, le quali le- gano le coordinate (u, v, w), (w', v', w') di rette corrispondenti nei due piani. Ripetendo il ragionamento ora fatto, si
l — 305 — trova che le coordinate di una retta unita devono soddisfare alle equazioni ( (^11 — c)^ ~t~ ^21^ "f" a^^w = 0, (2') l «12^ + («22 — ?)^ + «32^ = 0, dove Q è radice della equazione che si ottiene da queste mediante eliminazione di u, v, w. Ora, poiché la equazione in q coincide colla (3), si conclude che ciascuna radice q della (3) fornisce, secondo che vien sostituita nelle (2) o nelle (2'), le coordinate di un punto o di una retta unita. E si vede cosi che ad ogni punto unito è associata una retta unita, e viceversa (^). * Accenniamo ora brevemente ai vari casi che si possono presentare, in relazione colle radici dell'equazione cubica (3), a coefficienti reali. 1) Le tre radici qi, qo, Qs possono esser reali e distinte; in tal caso i punti uniti Ui, Uo, Ug sono reali e distinti^ vertici di un triangolo, i cui lati Ui, U2, ua (opposti ad Z7i, U2, Us) sono le rette unite. Scegliendo questo triangolo come fondamen- tale per il sistema di coordinate proiettive, è facile vedere che le equazioni della collineazione assumono la forma (a) Qx' = ax, Qij' = 6?/, Qz' = cz (essendo a, 6, e tre costanti reali, non nulle, e distinte). 2) Delle tre radici, una qi è reale, e due ()2, qz sono immaginarie coniugate; allora un punto unito Ui è reale, e gli altri due U2, U3 sono immaginari coniugati; unaretta unita ui = U2U3 è reale, non passante per Ui, e le altre due U2 ^ U1U3,, U3 = U1U2 sono immaginarie coniugate. Non si può in tal caso assu- (^) Per quanto riguarda la mutua posizione dei punti e delle rette in questione, si può dimostrare che un punto ed una retta, corrispondenti a due diverse radici d, C2 della (3), si appartengono. Si sostituiscano infatti nelle (2), al posto di Q, x, y, 2, i simboli d, «1, iji, ^i, ottenendo le relazioni che chiameremo (2o), e si sostituiscano nelle (2'), al posto di q, m, v, w, i simboli Q2ì M2j^2>*'^27 Ottenendo certe relazioni (2o'); poi si moltiplichino le (2o) per U2. i'2i ^2 rispettivamente, e si sommino membro a membro. Risulterà, tenuto conto delle (2o')) ((>2 — Ci) («2 ^\ + ^2 Vi + «'2 2i) = 0, la quale, poiché Q.2 4= Ci, dimostra che il punto unito (xj, ?/i, Zi) appar- tiene alla retta unita (^2» ^21 ^2)- 20
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 511 — Questa rappresenta un p
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— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554:
— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558:
— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
Page 751 and 752:
INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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