Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 310 — Od anche, poiché uno scorrimento di un piano su se stesso genera una uguaglianza diretta fra due diverse posizioni del piano, possiamo dire: Uno scorrimento di un piano sopra sé stesso può sempre esser sostituito (per quanto riguarda le posizioni iniziale e finale) da una rotazione intorno ad un punto^ o da una traslazione. b) Nella uguaglianza inversa le punteggiate di ?r, tt' sulla retta all'infinito si corrispondono in una involuzione, in cui i punti ciclici sono coniugati (n.° 89). Vi saranno dunque, sulla retta all'infinito, due punti reali uniti in direzioni ortogonali, C^x) ^^x) e nessun altro punto unito. Se l'uguaglianza fra ti e jt' ammette un terzo punto unito (reale) W, questo deve esser proprio. Allora le rette WU-j,, WV^ sono unite; e su ciascuna di queste la collineazione subordina una uguaglianza. Ora, ad es., l'uguaglianza sopra WU^^^ ha due punti uniti distinti T7, U^ , è quindi una simmetria rispetto a W, cioè una particolare involuzione, o l'identità. Ma nel primo caso la collineazione fra 71 G n' subordina su due rette distinte WU^, ^x f^x una involuzione; ed è quindi (n.° 181) una omologia involutoria di centro U:^ ed asse W F^- , vale a dire una simmetria ortogonale rispetto a questo asse (n,° 182, ò)). Nel secondo caso, quando cioè ogni punto di WU^ è unito, si arriva similmente alla stessa conclusione, salvo che l'asse di simmetria è ora W U:^ . Nei due casi basta dunque ribaltare uno dei due piani intorno all'asse di simmetria per sovrapporre ogni punto al proprio corrispondente. Rimane la ipotesi che la collineazione fra i piani ti e, n' abbia i due soli punti uniti U^ q V^^. Essa avrà quindi due sole rette unite, reali e distinte (n.*' 183, 3) ), di cui una è la retta all' infinito, e l' altra sarà una retta propria passante per Z7-C o per F^; sia ad es. la u passante per Yr^. Sopra u la nostra collineazione subordina una uguaglianza, che è diretta, avendo l'unico punto unito in F35 (n.° 72); è dunque costante la distanza fra due punti corrispondenti A, A' di u. Ma allora mediante una traslazione conveniente del piano n parallelamente ad u, si riuscirà a sovrapporre ogni punto J. di m al corrispondente punto A'. Fra la nuova posizione di tt e il piano 71 ' passerà ancora una uguaglianza inversa ; ma questa avrà
i — 311 — come uniti tutti i punti della retta m, e sarà, per quanto pre- cede, una simmetria rispetto ad u. Sicché in fine: Se due piani sovrapposti (o due figure in uno stesso piano) sono inversamente uguali^ si può portare uno di essi a coincidere punto per punto colf altro mediante una traslazione parallelamente ad una retta determinata, seguita da un ribaltamento intorno a questa retta. Basta la seconda operazione quando vi siano punti uniti propri. I risultati precedenti potrebbero esser confermati per via analitica, partendo dalle equazioni della uguaglianza diretta , ., a;' = a; cosa — y sena 4- a, ^ ^ y ^=^ X sena ~\- y cosa -|- o, o della uguaglianza inversa ,^. x' -= X cosa -|- Il sena -I- a. ^ y —• ^=. X sena y in coordinate cartesiane ortogonali. cosa -f- o, Esercizi. I. — 1) Costruire (^) la coUineazione ( ^•B'V'b') ^^^ ^^^ piani sovrapposti, supponendo: a) che siano uniti tre, dxie, o uno dei punti dati; 6) che i quattro punti J., 5, A', B' siano allineati. 2) Costruire l'affinità \\,qh^,) fra due piani; nella ipotesi che questi siano sovrapposti, si supponga che sia unito il punto 4, o la retta AB^ o le due rette AB, AC. 3) Una similitudine fra due piani è determinata, in due modi diversi, quando di due punti A, B (propri) nell'un piano si conoscano i punti corrispondenti (propri) A', B' nell'altro piano. 4) Costruire una omologia determinata: a) mediante il centro, l'asse e due elementi omologhi; 6) due triangoli omologici corrispondentisi. 5) Costraire una omologia speciale, o involutoria, o di data caratte- ristica (= 2, ad es. ), conoscendo: a) due punti corrispondenti e l'asse; b) due rette corrispondenti e il centro; e) due coppie di punti corrispondenti su rette distinte; d) due coppie di rette corrispondenti uscenti da punti distinti. 6) Costruire una omologia che trasformi un dato quadrilatero in: a) un parallelogramma; b) un rettangolo; e) una losanga; d) un quadrato. 7) Una omologia trasforma un cerchio in una ellisse, parabola, od iperbole, secondo che la retta limite del piano cui appartiene il cerchio, è estema, tangente, o secante rispetto al cerchio. Costruire effettivamente più punti e più tangenti della curva nei tre casi. In particolare, costruire gli asintoti (*) Vuol dire che di più punti o rette assegnate nell'un piano, si chiedono gli elementi corrispondenti nell'altro; in particolare le rette limite.
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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stesso piano n. Fra le altre rette
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 161 — Proiettiamo i punti Pi,
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 480 — blema mostreremo tra po
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 486 — sarà noto a priori (ca
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— 488 — angoli particolari che
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 505 — 287. Condizione di para
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(!') — 507 — 289. Equazioni di
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— 509 — se invece sta sopra xy^
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— 511 — Questa rappresenta un p
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— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
show all

Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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