Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 124 — due fasci di rette aventi lo stesso centro (proprio) 8. Con- dotta ad arbitrio una circonferenza che passi per S^ sopra questa i due fasci segheranno due punteggiate proiettive (2) ABC... A A'B'C ... Proiettiamo ora la prima e la seconda punteggiata da due punti corrispondenti della seconda e prima, rispettivamente, come sono, ad es., A' ed A; otterremo due fasci proiettivi A'(ABC...) TV A(A'B'C'...), anzi prospettivi, perchè han- no la retta unita AA' (n °67). No viene che i punti d' in- contro di rette corrispondenti A'B • AB' = M, A'C AC = N,... apparterranno ad una stessa retta r. Ed ogni punto di r, proiettato da A' ed A rispettivamente, darà sulla circonferenza due punti D, D' corrispondenti nella proiettività (2), tali adunque che le rette d = SD, d' = SD' si corrispon- dano nella proiettività primitiva (1). Risulta di qua che le intersezioni f/", Y di r colla circonferenza (ove esistano) sono i punti uniti della proiettività (2), e quindi le rette m, V, proiettanti quei punti da 8, sono le rette unite richieste della proiettività (1). Questa è iperbolica, parabolica od ellit- tica, secondo che la retta r è secante, tangente od esterna alla circonferenza. 78. Asse di proiettività di due punteggiate sulla circonferenza; teorema di Pascal per il cerchio. — Per eseguire la costruzione precedente, possiamo scegliere come centri di proiezione, in luogo di A' ed A, altri due punti corrispondenti B' Q B] ripetendo il ragionamento, troveremo che i punti B'A BA' = M, B'C • BC = P,... stanno sopra una stessa retta, che indicheremo con r'. Dimo- striamo che r' coincide con r.
— 125 — Se nella proiettività fra le due punteggiate sulla circonferenza esistono i punti uniti, le rette r ed r ', dovendo pas- sare per essi e per il punto ilf, coincideranno. Ma se i punti uniti non esistono, la dimostrazione precedente non sussiste più ; ne daremo quindi un' altra, che valga in tutti i casi. Coni" è chiaro, tutto si riduce a provare che i tre punti M, N, P sono allineati. A tal fine proiettiamo il gruppo BA'B'C dai centri A e C; otterremo i duo fasci proiettivi A(BA'B'C') TV C(BA'B'C'). Segando questi ordinatamente collo trasversali BA' e BC, avremo le punteggiate proiettive BA'MB TV BSPC (dove E, S sono rispettivamente i punti AC'-BA', CA'-BC). Queste sono anzi prospettive, avendo l'elemento B unito (n.° 67) ; quindi le rette A' S, MP, RC concorrono in uno stesso punto; in altre parole, sulla retta J/P cade il punto N intersezione di A'S = A'C e PC ~ AC- e. d. d. Possiamo cosi enunciare il teorema: Se ABCD . . . , A'B'C'B' . . . sono due punteggiate proiettive giacenti sopra una circonferenza, i punti AB' ' A'B, AC A'C,... BC'-B'C,... stanino sopra una stessa retta (asse di proiettività delle due punteggiate), la quale sega la circonferenza nei punti uniti, se esistono, della proiettività. In particolare, limitandoci a due terne di punti ABC, A'B'C assegnate ad arbitrio sulla circonferenza, osserveremo che i tre punti allineati M = AB' . A'B, P = BC • B'C, N = AC A'C possono riguardarsi come intersezioni delle coppie dei lati opposti (l'' e 4°, 2° e 5^, 3° e 6°) dell' esagono AB'CA'BC iscritto nella circonferenza; siamo cosi al teorema seguente: semplice condotti In mi esagono semplice iscritto in una circonferenza, le intersezioni delle tre coppie di lati opposti stanno in linea retta.
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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dove si è posto per brevità — 7
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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e fatto z - 263 —
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 355 — e si noti che, quando M
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— 363 — gli ortocentri dei quat
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 415 — dove p è una costante
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— 421 — Un terzo invariante si
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 457 — il piano di K' intorno
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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