Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 596 Si dice inoltre che una retta ed un punto sono coniugati, o reciproci, quando la retta appartiene al piano polare del punto, e, in conseguenza, il punto appartiene alla retta polare della retta data. una retta ed un piano sono coniugati, o reciproci, quando la rotta passa per il polo del piano, e, in conseguenza, il piano passa per la retta polare della retta data (^). Cosi, ad es., se due rette r, r' sono mutuamente polari, ogni punto di r è coniugato ad ogni punto di r' e ad r' stessa, ed ogni piano per r è coniugato ad ogni piano per r' e ad r' stessa. Un punto è autoconiugato, se esso appartiene al proprio piano polare; ora abbiamo visto al n.° 338, che il luogo dei punti autoconiugati nella polarità (I) è la superficie del secondo ordine (superficie fondamentale della polarità) : (10) a,,x^ + a,,y^ -f a,,z'- -f a^V^ + "â.^xy + "la^.xz -{- la.^xt + 2a^^yz -f- "la^^yt -|- 2a^^zt = 0. Dualmente, un piano è autoconiugato, se esso contiene il proprio polo. Per determinare l' inviluppo dei piani autoconiugati, si scriva la solita condizione di appartenenza di punto e piano ux '\- vy -\- wz -\- rt ^ 0, ed in essa si sostituiscano, al posto delle coordinate {x, y, z, t) del polo, le loro espres- sioni (3). Fatti i calcoli, risulta 1' equazione (11) Anu^ + ^22^^ + ^33w;2 + A^r^ + "lA.ûv + "lA^.uw -f 2î4Mr -f- 2A^.iVw 4- 2^,4vr -}- lA^^wr = 0, rappresentante un inviluppo di seconda classe. Dunque : i piani autoconiugati, in una polarità nello spazio, costituiscono un inviluppo doppiamente infinito di seconda classe (inviluppo fondamentale della polarità). Vedremo poi tra poco, che, viceversa, una superficie di secondo ordine, od un inviluppo doppiamente infinito di seconda classe, determinano, in generale, una polarità, di cui quella superficie, o questo inviluppo, sono fondamentali. Ed in quella occasione ritorneremo sulla teoria della polarità. (^) Per ricordare queste definizioni, si noti che due elementi diconsi polari, quando la polarità muta uno di essi nell'altro ; diconsi invece coniugati, reciproci, quando uno di essi appartiene all'elemento polare dell'altro. Un elemento assegnato ha dunque un solo elemento polare, ma infiniti elementi coniugati.
— 597 — Esercizi. I. — 1) Una coUineazione tra due spazi, la quale abbia come punti uniti i vertici di un tetraedro reale XYZT, è rappresentata da equazioni (canoniche) del tipo (1) e^' = O.X, Qìj' = by, Qz' = cz, Qt' = dt, quando i punti dei due spazi si riferiscano ad un unico sistema di coordinate proiettive, avente quel tetraedro come fondamentale ; a, b, e, d sono costanti, i cui mutui rapporti sono le caratteristiche (n.° 73, a) ) delle proiet- tività, che la coUineazione subordina sugli spigoli (rette unite) del tetraedro. 2) La coUineazione (1) non ha altri punti uniti, se a, b, e, d sono di- stinte tra loro. Ma se a = b, ogni punto {x, y, 0, 0) dello spigolo XY è unito, ed è pure unito ogni piano Àx -^ fiy =z passante per lo spigolo opposto ZT. Si ha cosi un esempio di coUineazione assiale; le rette con- giungenti punti omologhi segano quest' ultimo spigolo, mentre le rette intersezioni di piani omologhi segano lo spigolo X Y. 3) Si supponga ora che sia o = 6, e = d, a + e ; sono allora uniti tutti i punti e tutti i piani appartenenti all' uno, o all' altro, dei due spigoli XY, ZT, e si ha una coUineazione biassiale. Ogni retta congiungente due punti omologhi sega i due spigoli nominati in altri due punti, che con quelli formano un doppio rapporto costante -- (caratteristica) ; la proprietà duale sussiste per la retta intersezione di piani omologhi. 4) Le proprietà enunciate permettono di costruire facilmente una coUi- neazione biassiale, determinata da due assi XY, ZT, reali e distinti, e dal valore della caratteristica. Si esamini, in particolare, il caso che sia a = — e; allora le equazioni della coUineazione possono scriversi sotto la forma Qx' = X, Qy' — y, Qz' — — z, Qt' = — t, e la coUineazione è involutoria (coUineazione biassiale armonica). Si consi- derino inoltre i casi metrici, che si presentano, quando il sistema di coordinate è cartesiano ortogonale. 5) Se nelle (1) (es. 1) ) si ha o = 6 = e + rf, la coUineazione, le cui equazioni possono scriversi sotto la forma Qx' = X, Qy' = y, qz' = z, qV = kt, è un' omologia col centro (0, 0, 0, 1), col piano ^ =: 0, e colla caratteristica k (cfr. n.° 180). Se, in particolare, k r= — 1, T omologia è armonica (cfr. n." 181), e fornisce un secondo tipo di coUineazioni involutorie dello spazio. Si consideri, in particolare, la ipotesi che il tetraedro fondamentale abbia una delle sue facce (la t = 0, oppure la 2: = 0) all' iniinito, nel qual caso le coordinate diventano cartesiane. 6) In coordinate cartesiane omogenee, una omologia, il cui centro cada nell' origine, ha equazioni del tipo Qual' è Qx' = X, Qy' = y, qz' = z, Qt' = ax -f by -{- cz -{- dt. il piano d'omologia? Qual" è la condizione perchè il detto piano passi per il centro d' omologia, e la omologia sia speciale (n.° 183, 5) ) ? 7) Ogni coUineazione involutoria dello spazio è una omologia armonica, o una coUineazione biassiale armonica. [Sia K la coUineazione involutoria, e siano A A', BB',... coppie di punti distinti corrispondenti. Le
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 476 — comprenderà ora a prio
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— 478 — punti dati, si possa co
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— 480 — blema mostreremo tra po
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— 482 — II. Sia data una riga a
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^ 484 — dove p, q possono riguard
Page 500 and 501:
— 486 — sarà noto a priori (ca
Page 502 and 503:
— 488 — angoli particolari che
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— 490 — 278. Il problema della
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— 492 — 6) Retta generica del f
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— 494 — 21) Condizioni perchè
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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497 — Parte Quarta. Geometria ana
Page 517 and 518:
— 499 — e la terza coordinata {
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— 501 — Indicando i tre denomin
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— 503 — Viceversa : ogni equazi
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— 505 — 287. Condizione di para
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(!') — 507 — 289. Equazioni di
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— 509 — se invece sta sopra xy^
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— 511 — Questa rappresenta un p
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— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
Page 535 and 536:
— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
Page 555 and 556:
— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564: — 545 — togliere, introducendo
Page 565 and 566: — 547 — genee, giova tuttavia t
Page 567 and 568: — 549 — piani P; riguardata sot
Page 569 and 570: — 551 — Si ha qui una giustific
Page 571 and 572: — 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
Page 573 and 574: — 555 — dove i k l m B una qual
Page 575 and 576: — 557 — Per costruire un punto
Page 577 and 578: — 559 — che si possa dedurre co
Page 579 and 580: — 561 — Il teorema si dimostra
Page 581 and 582: — 563 — come piano XY di un nuo
Page 583 and 584: — 565 — II. — 10) Trovare 1'
Page 585 and 586: — 667 — essere tutte nulle). Al
Page 587 and 588: — 569 — D' altra parte è spess
Page 589 and 590: X — a
Page 591 and 592: — 573 — Se il vertice coincide
Page 593 and 594: — ; 576 — equidistanti dal punt
Page 595 and 596: — 577 — essi (n.° 312). Tra gl
Page 597 and 598: — 579 — dello spazio mediante u
Page 599 and 600: — 581 — quel modo, pur di scegl
Page 601 and 602: -^ 583 — glianze (1). Si conclude
Page 603 and 604: — 585 — una posizione assunta d
Page 605 and 606: — 587 — uniti, ed i cui spigoli
Page 607 and 608: — 589 — piani corrispondenti, s
Page 609 and 610: — 591 — Finalmente se, dato un
Page 611 and 612: ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
Page 613: — 595 — 839. Polarità nello sp
Page 617 and 618: — 599 — si osservi che le condi
Page 619 and 620: — 601 — 18) Assunto r asse di u
Page 621 and 622: — 603 — (n.*' 323), r ellissoid
Page 623 and 624: — 605 — La curva intersezione d
Page 625 and 626: — 607 — punto comune alle due r
Page 627 and 628: — 609 — 345. Per costruire il p
Page 629 and 630: — 611 — P', mentre il coefficie
Page 631 and 632: — 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634: — 615 — questa ipotesi sarà so
Page 635 and 636: — 617 — Due rette siffatte, in
Page 637 and 638: — 619 — quadrica in un punto R
Page 639 and 640: — 621 — una quadrica : due pian
Page 641 and 642: — 623 — esso pure alla quadrica
Page 643 and 644: — 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646: — 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648: — 629 — goli collo stesso verti
Page 649 and 650: — 631 — cano in P la quadrica,
Page 651 and 652: — 633 — Cosi continuando, vedia
Page 653 and 654: — 635 — Segue inoltre che il pr
Page 655 and 656: — 637 — Dualmente, se i sostegn
Page 657 and 658: — 639 — Esse passano tutte per
Page 659 and 660: — 641 — g) / vertici dei quattr
Page 661 and 662: — 643 — autoconiugato rispetto
Page 663 and 664: — 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
Page 727 and 728:
— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
Page 733 and 734:
— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
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— 739 — 145. Concetto generale
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— 741 — 197. Intersezioni di un
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— 743 — Cap. V. Proprietà foca
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— 745 — 300. Angolo di due rett
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— 747 — 362. Quadriche a punti
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Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
show all

Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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