Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 350 — Un analogo risultato vale per l' equazione tangenziale della curva riferita ad un triangolo autopolare; si trova infatti una equazione del tipo E si riconosce facilmente, in base alle considerazioni del n.** 205, che le due equazioni ora scritte rappresentano una stessa conica, abbia riferita allo stesso triangolo fondamentale, quando si _ 1 11 • dll : «22 • ^33 • • «11 «22 «38 Ritorniamo alla (1), ed esaminiamo i casi che essa può presen- tare. Supponiamo diversi da zero i tre coefficienti «n, «22, 0^33; (nella ipotesi opposta, se ad es. fosse «n = 0, si annulle- rebbe il discriminante A = ftn «22 ^tas della (1), e la curva si spezzerebbe nelle due rette V «22 ^ =t: y — a^a z =: 0, armoniche rispetto ai lati XY, XZ del triangolo fondamentale). I tre coefficienti della (1) avranno lo stesso segno, oppure due avranno un segno ed il rimanente il segno opposto. Ma nella prima ipotesi la conica non ha nessun punto reale, è com- pletamente immaginaria^ giacché allora il primo membro della (1) non può annullarsi che per x = 0, y z=: 0, z = 0^ terna di valori a cui non corrisponde alcun punto del piano. Supponiamo invece che due coefficienti della (1), ad es. «nj «22 7 abbiano lo stesso segno, che potremo supporre positivo (cambiando segno ove occorra al primo membro della equazione), e sia «33 negativo. Per tener presenti queste ipotesi poniamo ttn = «2, «22 = ^^ «33 = — )'^ dove «, /?, y sono quantità reali positive, e scriviamo la (1) sotto la forma (2) «2^2 -f ^2^2 _ y2^2 ^ 0. La conica ha certo punti reali, potendosi assegnare valori ar- bitrari (non entrambi nulli) ad x, y, pur di calcolare conve- nientemente z. La conica (2) sega il lato x = del triangolo autopolare in due punti reali e distinti dati da r-y' - y-^z^ = 0, ossia -|^ = db ^;
— 351 — e sega pure il secondo lato y = in. punti reali e distinti dati da — = ± -^; ma non ha punti reali comuni col terzo lato z =1 (perchè si avrebbe — =: ± i --Y Dunque dei tre lati del triangolo autopolare XYZ, due ZX, ZY sono se- canti e il terzo XY esterno; e (per polarità) dei tre vertici, due X, Y sono esterni ed uno Z interno. Ciò conferma il risultato del n.° precedente relativo alla posizione di un triangolo autopolare rispetto ad una conica reale. Per il vertice Z^ che è poi un punto qualsiasi interno alla nostra conica (2), conduciamo una retta ad arbitrio y z=: 'kx. Questa sega la curva (2) in due punti {x, kx, z), tali che donde X Y ^ "" ± Va^ + /?2F" valori certamente reali. La retta è adunque secante; e ciò dimostra il lemma a') della Oss. del n.° precedente. Se invece consideriamo un punto esterno alla curva, qual'è il punto fondamentale X (v. la fig. di pag. 348), e per esso conduciamo una retta z = ky^ le intersezioni (x^ y^ ky) di questa colla conica (2) sono date da ossia da «2^2 _|_(;^2 _ j,2;^2^)^2 ^ 0, X y Vr^r ^' — ^2 _ esse sono reali e distinte, reali e coincidenti o immaginarie coniugate, secondo che Ai valori A; = k > /? + - corrispondono dunque le due tangenti t, t' (di equazioni ^y zy: yz = 0) uscenti da X; ai valori di k compresi fra ^ e -]- -'^ corrispondono le rette del fascio X che appartengono ad uno degli angoli completi Ti' (precisamente a quello in cui sta il lato XY per cui k = 0), rette che, in virtù della nostra disuguaglianza, sono esterne rispetto
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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- e\c -j- Q cos f) = —
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558:
— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564:
— 545 — togliere, introducendo
Page 565 and 566:
— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634:
— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648:
— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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