Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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che come sezioni di coni rotondi, non introduceva in realtà
alcuna restrizione.
Sebbene gli ellissoidi confocali si presentino in una ricerca di mec-
canica celeste fatta da Laplace (1799), si può affermare che la teoria delle
quadriche confocali fu fissata nelle sue linee principali da Dupin (1813),
il quale scoprì le coniche focali, e dimostrò (contemporaneamente a Binet)
che le dette qiiadriche formano un sistema triplo ortogonale. Però l'osservazione
(presa qui come definizione), che quelle quadriche costituiscono una
particolare schiera, è dovuta a Chasles (1837).
Che le coniche focali siano luoghi di vertici di coni rotondi, circoscritti
alle quadriche confocali, fu dimostrato da Steiner (1826), mentre il caso
particolare, relativo ai coni lotoudi passanti per una data conica, era già
noto a Dupin (1813).
Esercizi. I — 1) Un cono quadrico di vertice 0, ed il cono assoluto
avente lo stesso vertice determinano un fascio di coni conciclici ed una
schiera di coni confocali, fascio, o schiera, ottenuti proiettando da il fascio
o, rispettivamente, la schiera di coniche determinati, sul piano all' infinito,
dalle coniche all' infinito dei due coni. I coni del fascio, o della schiera,
hanno i piani principali e gli assi in comune (piani principali ed assi del
fascio o della schiera). La polarità ortogonale nella stella muta i coni
conciclici in coni confocali, e viceversa.
2) Nel fascio di coni conciclici vi sono tre coni, che degenerano in
coppie di piani ciclici, secantisi lungo i tre assi del fascio ; di queste coppie
una sola si compone di piani reali. Ogni piano parallelo ad uno dei piani
ciclici sega ciascun cono del fascio bingo un cerchio. Due piani paralleli
a due piani ciclici costituenti una delle dette coppie si chiamano antipa-
ralleli', essi segano ciascun cono lungo due cerchi, che appartengono ad
una sfera. Una sfera condotta per 0, in guisa da toccare ivi uno dei piani
ciclici, sega tutti i coni del fascio lungo cerchi, i cui piani sono paralleli
tra loro ed antiparalleli a quel piano ciclico.
3) Un piano generico condotto per tocca due coni del fascio lungo
due generatrici, che risultano perpendicolari tra loro.
4) Se "
h ^^ + ^- = 0) con a > ^ > y, e l'equazione cartesiana
ortogonale di un cono, e quindi au'^ -{- jìv^ -{- yw^ = è l'equazione
pliickeriana del cono (o meglio della sua conica all' infinito), i coni confo-
cali con esso sono rappresentati dall' una o dall' altra delle due equazioni :
(a -f ;i)m2 + (/? -f À)v^- + iy -\- /i)w2 = 0,
a-f/l '
-\- À '
^ y + vl
dove /i è un parametro. Si esamini la posizione e la natura dei coni, che
corrispondono ai valori di À compresi negli intervalli aventi per estremi
(— =0, — a, — ^, — y, + co).
5) Alla schiera dei coni confocali appartengono tre coni, di cui cia-
scuno degenera in due fasci di piani ; gli assi di tali fasci escono da 0, e