Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 98 -- riferite proiettivamente ad una stessa forma^ esse sono riferite proiettivamente tra loro; in simboli, dalle due relazioni A B CD ... A A' B' CD' ..., A'B'C'D' ... A A"B"C"D" ..., sesfue ABCD ... A A"B"C"D"... Infatti tra queste due ultime forme viene a stabilirsi una corrispondenza biunivoca, quando si riguardino come corrispondenti due elementi (come A ed A",. ..) i quali abbiano uno stesso elemento {A', . . .) come corrispondente nella forma inter- media. E la detta corrispondenza è una proiettività giacche, se A^ B, C, D sono quattro elementi arbitrari della prima forma, si ha per ipotesi (ABCD) = (A'B'C'D'), (A'B'C'D') = (A"B"C"D"), donde si trae (ABCD) = (A"B"C"D"). Sono corollari immediati del teorema e degli esempi sopra riportati : Due forme riferite proiettivamente, rimangono nella detta relazione anche se i loro sostegni vengono comunque spostati nello spazio. Se due forme sono riferite proiettivamente, saranno riferite proiettivamente anche due forme che da quelle ordinatamente si deducano mediante operazioni di proiezione e sezione. OsserTazìone. — Il teorema di questo paragrafo può anche enun- ciarsi in altro modo. Dette F, F' F" le tre forme di prima specie sopra considerate, ricordiamo anzitutto che la proiettività fra F eà F' h la riu- nione di due corrispondenze od operazioni, inverse una dell' altra (n.° 5B), dette pure proiettività: una prima, che indicheremo con P, la quale permette di passare della forma F alla forma F' ( e dagli elementi A, B . . . agli elementi A, B' . . .)\ una seconda operazione, che si suole indicare con P~ ^, la quale fa ritornare da i'" ad J^ (e da A', i? ',.••, ad .4, 5, ... ). Similmente indichiamo con P' la operazione con cui si passa dalla forma F' alla forma F" (e precisamente da A', J?' ... ad A", B" . . .). Eseguendo una di seguito all'altra le due operazioni Pel" (prima P e poi P'), si ottiene una operazione composta che conduce da F ad F", e precisamente dagli elementi A, B . . . , agli elementi A", B" . . . Questa care con P • nuova operazione si suole indi- P e P' applicate nell'ordine scritto. Il prodotto di due corrispondenze univoche è evidentemente una corrispondenza univoca. Il ragionamento pre- P', e si chiama ^odo^^ delle due operazioni, o corrispondenze,
— 99 — cedente prova di più, che il prodotto di due proiettività è ancora una jyroiet- tività. Questo teorema, equivalente al primitivo, può d'altronde estendersi, insieme alla definizione di prodotto, al caso di più proiettività. Come esempio, si osservi che il prodotto di una proiettività P per la sua inversa J* ~" ^ è una proiettività, che fa corrispondere ad ogni elemento della forma primitiva l'elemento stesso. Questa proiettività si chiama identità, e talvolta si indica con 1 ; sicché si scrive P • P~ ^=. 1. 62. Teorema fondamentale. — Fissati tre eletnenti arbitrari sopra una forma di prima specie, e tre elementi pure arbitrari sopra una seconda forma della stessa specie, esiste una ed una sola corrispondenza proiettiva fra le due forme, per la quale ai primi tre elementi nominati corrispondono ordinatamente gli ultimi tre. Infatti, detti A, B, C ì tre elementi delle prima forma ed A', B' C ì tre elementi della seconda, se ad ogni elemento X della prima forma facciamo corrispondere quelF elemento X' della seconda per cui {ABCX) = (A'B'C'X'), noi veniamo a stabilire una proiettività jP tra le due forme, la quale muta A, B, C in A', B' , C (n.° 57, e)). D'altra parte, se una proiettività soddisfa alle condizioni dell'enunciato, essa deve mutare V elemento X nell" elemento X ', e quindi non può differire dalla JP. La proiettività jP si suole indicare talvolta con A B C yA'B'C, 63. Equazione della proiettività. - Quando su ciascuna di due forme riferite proiettivamente, è fissato un sistema di coordinate proiettive (o casi particolari), la relazione geometrica che passa fra due elementi corrispondenti X, X', si traduce in una relazione analitica fra le coordinate x, x' degli elementi stessi. Per procurarcela supponiamo determinata la proiettività col dare tre elementi A, B, C della prima forma, aventi le coordinate a, 6, e, ai quali debbano corrispondere, sulla seconda forma, gli elementi A', B\ C di coordinate a', 6', e'. La relazione geometrica che definisce la proiettività (ABCX) = (A'B'C'X'), si traduce nella relazione algebrica a — e a — X a' — e' a' — x' b — e ' b — x ~ b' — e' ' b' —~x''
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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e fatto z - 263 —
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 355 — e si noti che, quando M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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- e\c -j- Q cos f) = —
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
Page 535 and 536:
— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
Page 541 and 542:
— 523 — Per calcolare il seno d
Page 543 and 544:
— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
Page 547 and 548:
— 629 — quarto vertice dalla fa
Page 549 and 550:
— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554:
— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558:
— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564:
— 545 — togliere, introducendo
Page 565 and 566:
— 547 — genee, giova tuttavia t
Page 567 and 568:
— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
Page 573 and 574:
— 555 — dove i k l m B una qual
Page 575 and 576:
— 557 — Per costruire un punto
Page 577 and 578:
— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
Page 585 and 586:
— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
Page 601 and 602:
-^ 583 — glianze (1). Si conclude
Page 603 and 604:
— 585 — una posizione assunta d
Page 605 and 606:
— 587 — uniti, ed i cui spigoli
Page 607 and 608:
— 589 — piani corrispondenti, s
Page 609 and 610:
— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
Page 617 and 618:
— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
Page 625 and 626:
— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
Page 629 and 630:
— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634:
— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646:
— 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648:
— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
Page 651 and 652:
— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
Page 657 and 658:
— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
Page 663 and 664:
— 645 — lungo coniche, che hann
Page 665 and 666:
— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
Page 667 and 668:
— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
Page 727 and 728:
— 709 — come risulta dall' Oss.
Page 729 and 730:
— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
Page 733 and 734:
— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
Page 741:
— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
Page 746 and 747:
(22) A (23) — 728 — 22) Area de
Page 748 and 749:
— 730 — 35) Condizioni, perchè
Page 751 and 752:
INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
Page 753 and 754:
— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
show all

Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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