Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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Questa rappresenta un piano, il quale passa per il punto
P = nn' 7i'\ perchè la (2) è soddisfatta dalla terna di valori
(re, y, 0), che soddisfano le equazioni ti), ti'), n"). La conclu-
sione vale (come si dimostra direttamente) anche se il punto P"
è improprio.
Al variare dei parametri i, ^, v^ o, meglio, dei rapporti
--, ^, il piano (2) varia nella stella di centro P, e la descrive
tutta, perchè si possono calcolare i detti rapporti in modo, che
il piano (2) passi per due punti assegnati ad arbitrio. Concludiamo
: date le equazioni di tre piani., che determinino una
stella, la equazione di ogni altro piano della stella può ottenersi
come una combinazione lineare di quelle.
292. Intersezione di una retta con un piano ; condizione
perchè una retta sia parallela ad un piano, o vi giaccia. —
Poiché una retta è rappresentata da due equazioni lineari, il
punto d' incontro della retta con un piano si otterrà risolvendo
il sistema formato dalle due equazioni della retta colla equa-
zione del piano.
In particolare, se la retta è data mediante le equazioni
r) X = Iz -^ p, y = rnz -\- q,
ed il piano mediante 1' equazione
^) ax -{- hi/ -{- cz -\- d =z 0,
sostituiremo in questa, al posto di x ed y, ì valori dati dalle r);
otteniamo
donde
(al -f òw + c)z + (ap -^ bq -^ d) = 0^
^ __ ap ^ bq -{- d
al -j- bm -j- e
Le altre due coordinate x, y del punto richiesto si ricavano
servendosi delle r).
L' espressione di z ci mostra che la condizione di paralle-
lismo tra la retta r e il piano n è
(1) al -\- bm -\- e = 0;
mentre, se, insieme a questa relazione, coesiste la
(2) ap -\- bq -{- d = 0,
la retta r giace per intero nel piano n.