Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

— 65 —
(cc^y) senay senaó
nel fascio di piani (a^yà) = j^j^j - ^--^- ' ^^^,
(coir avvertenza che nelle ultime due relazioni al posto di .sen
va scritto disi quando si tratti di fascio improprio).
Con queste notazioni la (3) può scriversi
(ABMN) = (aòmn),
e dà luogo all'importante teorema:
Il doppio rapporto di quattro rette di un fascio è uguale al
doppio rapporto dei quattro punti in cui le rette sono segate da
una trasversale qualsiasi^ che non passi pel centro.
Di qua, tenendo fìsse le quattro rette e variando la trasver-
sale, oppure tenendo fissi i quattro punti e variando il centro
di proiezione, si ottengono i due corollari seguenti, di cui il
primo era noto a Pappo (IV° secolo dopo C):
Quattro rette di un fascio sono segate da una trasversale
qualsiasi in quattro punti, il cui doppio rapporto rimane costante
al variare della trasversale.
Quattro punti di una retta sono proiettati da un centro
qualsiasi mediante quattro rette, il cui doppio rapporto rimane
costante al variare del centro di proiezione.
Mettiamo ora in relazione quattro piani a, /?, 7, ò di un
fascio coi quattro elementi in cui vengono segati da un piano
o da una retta. Supposto anzitutto il piano secante n normale
ai quattro piani, e dette a, h, e, d le rette sezioni, appartenenti
ad un fascio, si ha per definizione
(a^yó) = (ahcd).
Segando ora le quattro rette e quindi i quattro piani con
una trasversale t giacente in ti, e detti A, B, C, D i punti
sezioni, sarà
e quindi
(abcd) = {ABCD\
{a^yò) = (ABCD).
Finalmente se conduciamo per la trasversale t un piano arbi-
trario n\ il quale seghi i piani a, |5, 7, ò in quattro rette di un fa-
scio a', 6', e', d', passanti ordinatamente per A, B, C, D, si avrà
(ABCD) = (a'b'c'd'X
donde
(a^yò) = (a'b'c'd').