Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 218 — Risulta cosi che, m coordinate proiettive^ una retta è ancora rappresentata da una equazione lineare. In particolare X ^ 0, Y = rappresentano le rette fondamentali YZ, XZ\ aX -\- e = 0, hY -\- e =^ rappresentano rette uscenti rispettivamente dai punti fondamentali F, X\ aX -|- 6 F = è una retta uscente dal punto Z^ e precisamente X — 1^ = rappresenta la retta ZE\ ecc. * 133. Coordinate proiettive omogenee di punti. — Volendo rappresentare anche i punti della retta fondamentale X Y, faremo uso di coordinate proiettive omogenee^ che definiremo seguendo la via tenuta al n.*' 124. Fissato un triangolo fondamentale XYZ ed un punto unità E^ chiameremo coordinate proiettivo omogenee di un punto P tre numeri x, y. 0, non tutti nulli, tali che (1) X = '^, Y = ^ siano le coordinate proiettive, non omogenee, sopra definite del punto P. Questa definizione vale, a dir vero, colla restrizione z ^ 0, la quale porta che il punto P sia fuori della retta XY. Per togliere la restrizione osserviamo anzitutto che il detto punto P(a^, y, 2'), congiunto con Z^, dà una retta ZT avente la equazione (2) ^ = X, ^ ^ X y dove X, Y sono le coordinate proiettive variabili ; conveniamo poi di attribuire le coordinate (x, ?/, 0) alla intersezione della retta (2) colla retta XY. Da queste definizioni segue che i rapporti —, ^ hanno i significati geometrici (1') - = -^- Y{XZEP), = X{YZEF). z z Quanto al rapporto 7 , si osservi che la retta ZF avente r equazione (2), ossia ^ — J T = 0, forma colle tre retto J^r, ZX^ ZE di equazioni X = 0, y = 0, X - F = il doppio rapporto (n.' 107, 132) Z{YXEF) = ^- OC
— 219 — Riunendo questa alle (1'), possiamo ora definire come coordinate proiettive omogenee di un punto P tre numeri x, y, z, non tutti nulli, tali che sussistano le relazioni (di cui due sole sono indipendenti) (3) y•^- z= X{ YZEP), ^- = Y{ZXEP\ = Z{XYEP) z X Le tre coordinate omogenee di un punto possono eviden- temente esser moltiplicate per uno stesso fattore, senza che il punto cambi. I vertici X, Y, Z del triangolo fondamentale hanno rispettivamente coordinate uguali (o proporzionali) a (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1); il punto unità j^" ha le coordinate (1, 1, 1); per un punto della retta YZ è x = 0, per un punto di ZX è ?/ = 0, e per un punto ài XY q z = 0. Ecc. In coordinate proiettive omogenee una retta è rappresentata da una equazione lineare ed omogenea. In particolare x = 0, 7/ r= 0, 2; = rappresentano i lati del triangolo fondamentale ; ax -\- hy = k una retta uscente dal vertice Z. Ecc. *134. Coordinate proiettive di una retta. — Supposto che una retta p sia rappresentata in coordinate proiettive omogenee (1) di punti (x, y, z) dall'equazione ux -{- vy -\- WÀ = 0, potremo 'chiamare i coefficienti u. omogenee della retta p] (, -^y , coordinate non omogenee', cfr. n.' 126, 127). La (1) dà allora la condizione affinchè un punto (x, y, z) appar- tenga ad una retta (m, v, w). Di queste coordinate di rette si può pure assegnare una definizione diretta, che corrisponde per dua- lità alla definizione delle coordinate proiettive di punti. A tal fine indi- chiamo con w, V, w le rette fondamentali YZ, ZX, XY; e conside- ' i', tv coordinate proiettive riamo, oltre alla retta p rappresentata dalla (1), la retta unità e avente l'equazione (2) x-^ y ^ z = 0,
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— espili ampia che chiameremo A^]
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 115 — u'. 1 punti M, 0, N si
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 355 — e si noti che, quando M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 439 — Ciò premesso, assumiam
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— 441 — Per enunciare il risult
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— 443 — è indipendente dalla c
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 449 — rette formanti fascio c
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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— 453 — 38) Da questo teorema e
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— 457 — il piano di K' intorno
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- 470 — dove si suppone precisame
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— 482 — II. Sia data una riga a
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 486 — sarà noto a priori (ca
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— 494 — 21) Condizioni perchè
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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497 — Parte Quarta. Geometria ana
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— 499 — e la terza coordinata {
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 527 — Similmente si vede che
Page 547 and 548:
— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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