Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 294 — I due piani sono uguali se m^ -{- n^ = 1; allora, essendo — 1 ^ m ^ 1, esiste un angolo « tale, che cosa = me sena = n. Con queste posizioni le (2) divengono (^) ^^^ C x' =^ X cosa — y sena -]- «, / y' ^ = X sena + yy cosa + 6, i"^?^ "= ' ^'^' = formole che definiscono, sia una uguaglianza fra due piani tt, ji\ sia una trasformazione di coordinate ortogonali sopra uno stesso piano (n." 122). II doppio significato delle (3) era prevedibile. Infatti, se i due piani uguali sono riferiti ad assi coordinati corrisponden- tisi, allora le coordinate ,r', y' di un punto P' di n' sono ri- spettivamente uguali alle coordinate .r, y del punto corrispondente P di tt; se invece gli assi coordinati non si corrispondono, i valori .x, y possono riguardarsi come coordinate di P' rispetto a due assi ausiliari di ti', i quali corrispondono agli assi x, y di 7c, sicché per giungere alle vere coordinate x', y' di P\ oc- corre applicare alle coordinate ausiliari x, y le formole che servono a passare dai due assi ausiliari di ti' agli assi dati x', y'. 175. Elementi uniti di una collineazione. — Vogliamo ora occuparci di questioni relative alle particolari posizioni che possono avere due forme dello stesso nome (in particolare due piani) collineari. Chiameremo al solito (n.° 66) unito un elemento comune alle due forme, e tale che, considerato in una di esse, abbia per corrispondente sé stesso nell'altra. E potremo sup- porre che le due forme abbiano sostegni distinti, oppure siano sovrapposte] notando che nelF ultima ipotesi ogni elemento del sostegno comune deve esser considerato due volte, secondo la forma a cui si vuole attribuire quell'elemento. Dalla definizione di elemento unito segue che, se P e Q sono due punti uniti in una collineazione fra due piani, la retta PQ é pure unita; ed i punti dei due piani appartenenti a questa si corrispondono in una proiettività di cui P e Q sono punti uniti. In generale, nessun altro punto della retta é unito; ma (^) Se ai punti ciclici (+ «', 1, 0) di ;t si fossero fatti (X)rrispondere ordinatamente ì punti ciclici {^ i, 1, 0) di 7r\ si sarebbero trovate, in luogo delle (3), formole che si possono ottener da queste cambiando il segno alla sola y. — ,_^
— 295 — se vi è un terzo punto unito^ ogni altro punto è unito (n.** 66), e la retta è luogo di punti uniti. Questa osservazione (insieme alle analoghe) dà luogo all'e- nunciato: se in una collineazione tra due forme di seconda specie sono uniti due elementi distinti, dello stesso nome, il sostegno della forma di prima specie a cui quegli elementi appartengono è pure unito. Se quest'ultima forma possiede un terzo elemento unito, ogni altro suo elemento è unito. 176. Piani prospettivi. — Fu già notato (n/ 164, 11) che la proiezione di un piano jv sopra un piano distinto n' da un centro S, non appartenente a nessuno dei due piani, dà luogo ad una particolare collineazione (prospettiva) fra i piani stessi, nella quale sono uniti tutti i punti della retta ttti;'. Viceversa: Se in una collineazione fra due piani distinti sono uniti tutti i punti della retta comune intersezione, le congiungenti i punti deWun piano coi punti corrispondenti deW altro passano per un stesso punto, ed i due piani sono prospettivi rispetto a questo punto {centro di prospettiva) (^). Siano n, n' \ due piani, u ^^ nn' la, retta di punti uniti. Presi sopra n e fuori di u due punti arbitrari A, B, e detti A', B' i corrispondenti in n', osserviamo anzitutto che le rette corrispondenti AB, A'B' segano u in uno stesso punto; infatti il punto d' incontro ài AB con u, essendo unito, deve appartenere anche ad A'B'. Segue che le rette A A', BB', giacendo in un piano, si segano. Dunque le rette congiungenti i punti di Ti; coi punti corrispondenti di ti' si segano a due a due; e poiché non sono tutte in uno stesso piano, dovranno tutte passare per uno stesso punto (n.° 7, ò')), e. d. d. (^) Si enunci e si dimostri il teorema analogo relativo alle stelle, che si deduce trasformando il nostro per dualità nello spazio.
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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- e\c -j- Q cos f) = —
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
Page 543 and 544:
— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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