Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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III — 18) Il prodotto dei raggi focali di un punto di una conica a
centro è uguale al quadrato del semidiametro b', coniugato a quello pas-
sante pel punto (n.°252, es. 8)).
19) Detti H, E' i piedi delle normali condotte dai fuochi F, F' di
una conica a centro sulla tangente in un punto P qualsiasi della curva, si
ha FU =r ~^~ FP, F'ir = ^- F'P, dove i è il semiasse secondario,
e 6' ha il significato dell' es. precedente. Moltiplicando si ritrova la nota
proprietà (n.° 258, e)) FH F'H' = b^; dividendo invece si ha FH : F'H'
= FP : F'P, donde risulta nuovamente che la tangente in P forma coi
raggi focali del punto angoli uguali, il cui seno vale -^-•
20) Tenendo conto di quest' ultimo valore e della espressione del raggio
di curvatura in un punto (n.°252, es. 24)), si giustifichi la seguente costruzione
(di Steiner) del centro di curvatura in P; « condotta la normale
in P, la quale seghi in N V asse focale, si conduca la perpendicolare in N
a PN fino ad incontrare la FP in M\ e poi per M la perpendicolare ad FP]
questa sega PN nel centro di curvatura richiesto».
21) Si dimostri che la stessa costruzione vale anche per la parabola.
22) Nella parabola il raggio di curvatura di un punto è doppio del
segmento della normale compreso tra il punto e la direttrice.
IV. — 23) Partendo dall'equazione polare di una conica riferita al
fuoco e all'asse focale, e detta corda focale una corda passante pel fuoco
si dimostri che «la media armonica (n.° 50) tra i segmenti in cui una corda
focale è divisa dal fuoco, è costante ed uguale al parametro » (n." 261). I
segmenti vaimo presi però collo stesso segno, o con segni opposti, secondo
che il fuoco è interno, o esterno alla corda.
24) Le corde focali di una conica a centro sono proporzionali ai qua-
drati dei diametri paralleli. Segue che « è costante la somma di due corde
focali parallele a due diametri coniugati (cfr. n.° 252); ed è pur costante
la somma dei valori inversi di due corde focali perpendicolari tra loro
(cfr. n.° 252, es. 11))».
V. Sui cerchi focali. — 25) Un fuoco F di una conica può riguardarsi
come un cerchio di raggio nullo (spezzato nelle due direzioni assolute
uscenti da F), il quale tocca la conica nelle intersezioni di questa colla
direttrice, polare di F. Questa nozione può estendersi (con Bobillier, e
Steiner) considerando un cerchio qualsiasi bitangente alla curva; un tale
cerchio si dirà focale, e la retta congiungente i punti di contatto (reali o
immaginari) colla curva sarà la direttrice relativa a quel cerchio. Una data
conica possiede infiniti cerchi focali; se essa ha centro, i detti cerchi si
distribuiscono in due serie, gli uni {cerchi focali principali) avendo i centri
sull'asse principale e le direttrici parallele all'asse secondario, gli altri
(e. f. secondari) avendo i centri sull'asse secondario, ecc. (n.° 238, es. 21)). Par-
tendo dall' equazione ridotta della curva, si scrivano le equazioni dei cerchi
dell'una e dell'altra serie.
26) Se da un punto P di una conica si conduce la tangente PJ ad
un cerchio focale e la perpendicolare PQ alla relativa direttrice, il rap-